MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 9

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeProgresii Geometrice
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie geometrică cu termeni reali, astfel încât a1+a2+a3=14a_1 + a_2 + a_3 = 14 și a1⋅a2⋅a3=64a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 64. Să se determine rația qq a progresiei și să se calculeze S10S_{10}, suma primilor 10 termeni.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notăm a1=aa_1 = a, qq rația. Atunci a2=aqa_2 = aq, a3=aq2a_3 = aq^2. Condițiile devin: a+aq+aq2=14a + aq + aq^2 = 14 și a⋅aq⋅aq2=a3q3=64a \cdot aq \cdot aq^2 = a^3 q^3 = 64. Din a3q3=64a^3 q^3 = 64, rezultă (aq)3=64(aq)^3 = 64, deci aq=4aq = 4 (considerând rădăcina cubică reală). Astfel, a=4qa = \frac{4}{q}.
23 puncte
Înlocuind în prima ecuație: 4q+4+4q=14⇒4q+4q=10⇒4+4q2=10q⇒4q2−10q+4=0⇒2q2−5q+2=0\frac{4}{q} + 4 + 4q = 14 \Rightarrow \frac{4}{q} + 4q = 10 \Rightarrow 4 + 4q^2 = 10q \Rightarrow 4q^2 - 10q + 4 = 0 \Rightarrow 2q^2 - 5q + 2 = 0. Discriminantul Δ=25−16=9\Delta = 25 - 16 = 9, deci q=5±34q = \frac{5 \pm 3}{4}, adică q=2q = 2 sau q=12q = \frac{1}{2}.
33 puncte
Pentru q=2q=2, a=42=2a = \frac{4}{2} = 2; pentru q=12q=\frac{1}{2}, a=41/2=8a = \frac{4}{1/2} = 8. Suma S10=aq10−1q−1S_{10} = a \frac{q^{10} - 1}{q - 1} pentru q≠1q \neq 1. Pentru q=2q=2: S10=2210−12−1=2(1024−1)=2046S_{10} = 2 \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 2(1024 - 1) = 2046. Pentru q=12q=\frac{1}{2}: S10=8(1/2)10−11/2−1=8⋅1/1024−1−1/2=−16(1/1024−1)=16−161024=16−164=1024−164=102364S_{10} = 8 \frac{(1/2)^{10} - 1}{1/2 - 1} = 8 \cdot \frac{1/1024 - 1}{-1/2} = -16 (1/1024 - 1) = 16 - \frac{16}{1024} = 16 - \frac{1}{64} = \frac{1024 - 1}{64} = \frac{1023}{64}. Deci, pentru q=2q=2, S10=2046S_{10}=2046; pentru q=12q=\frac{1}{2}, S10=102364S_{10}= \frac{1023}{64}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.