MediuProgresii AritmeticeClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3. Numerele reale a,b,ca, b, c sunt în progresie aritmetică, verifică f(a)+f(b)+f(c)=0f(a) + f(b) + f(c) = 0 și a+b+c=9a + b + c = 9. Determinați valorile lui a,b,ca, b, c și rația rr.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem a,b,ca, b, c în funcție de bb și rația rr: a=b−ra = b - r, c=b+rc = b + r.
23 puncte
Din condiția a+b+c=9a + b + c = 9, avem (b−r)+b+(b+r)=3b=9⇒b=3(b-r) + b + (b+r) = 3b = 9 \Rightarrow b = 3.
33 puncte
Calculăm f(b)=f(3)=32−4⋅3+3=0f(b) = f(3) = 3^2 - 4\cdot3 + 3 = 0. Atunci f(a)+f(c)=0f(a) + f(c) = 0. Cu a=3−ra = 3-r și c=3+rc=3+r, avem f(3−r)+f(3+r)=0f(3-r) + f(3+r) = 0.
42 puncte
Calculăm: (3−r)2−4(3−r)+3+(3+r)2−4(3+r)+3=(9−6r+r2−12+4r+3)+(9+6r+r2−12−4r+3)=(r2−2r)+(r2+2r)=2r2=0⇒r=0(3-r)^2 -4(3-r)+3 + (3+r)^2 -4(3+r)+3 = (9 -6r +r^2 -12 +4r +3) + (9 +6r +r^2 -12 -4r +3) = (r^2 -2r) + (r^2 +2r) = 2r^2 = 0 \Rightarrow r=0. Deci a=b=c=3a=b=c=3 și r=0r=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.