MediuProgresii AritmeticeClasa 11

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Demonstrați că pentru orice progresie aritmetică (an)(a_n) cu rația rr, suma pătratelor primilor n termeni, S=a12+a22+...+an2S = a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2, este dată de formula S=na12+a1rn(n−1)+r26n(n−1)(2n−1)S = n a_1^2 + a_1 r n (n-1) + \frac{r^2}{6} n (n-1)(2n-1).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Exprimați termenul general ak=a1+(k−1)ra_k = a_1 + (k-1)r pentru k=1,2,...,nk = 1,2,...,n.
23 puncte
Scrieți S=∑k=1n[a1+(k−1)r]2=∑k=1n[a12+2a1r(k−1)+r2(k−1)2]S = \sum_{k=1}^{n} [a_1 + (k-1)r]^2 = \sum_{k=1}^{n} [a_1^2 + 2a_1 r (k-1) + r^2 (k-1)^2].
34 puncte
Separați suma: S=a12∑k=1n1+2a1r∑k=1n(k−1)+r2∑k=1n(k−1)2S = a_1^2 \sum_{k=1}^{n} 1 + 2a_1 r \sum_{k=1}^{n} (k-1) + r^2 \sum_{k=1}^{n} (k-1)^2. Calculați sumele: ∑k=1n1=n\sum_{k=1}^{n} 1 = n, ∑k=1n(k−1)=n(n−1)2\sum_{k=1}^{n} (k-1) = \frac{n(n-1)}{2}, ∑k=1n(k−1)2=(n−1)n(2n−1)6\sum_{k=1}^{n} (k-1)^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.
41 punct
Înlocuiți și simplificați pentru a obține formula dată: S=na12+2a1r⋅n(n−1)2+r2⋅n(n−1)(2n−1)6=na12+a1rn(n−1)+r26n(n−1)(2n−1)S = n a_1^2 + 2a_1 r \cdot \frac{n(n-1)}{2} + r^2 \cdot \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} = n a_1^2 + a_1 r n (n-1) + \frac{r^2}{6} n (n-1)(2n-1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.