MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 10

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeNumere ComplexeIdentități algebrice
Fie z=a+biz = a + bi un număr complex, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Dacă ∣z∣=5|z| = 5 și z2+z‾2=34z^2 + \overline{z}^2 = 34, determinați aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem ∣z∣=a2+b2=5|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = 5, deci a2+b2=25a^2 + b^2 = 25.
23 puncte
Calculăm z2=(a+bi)2=a2−b2+2abiz^2 = (a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi și z‾2=(a−bi)2=a2−b2−2abi\overline{z}^2 = (a-bi)^2 = a^2 - b^2 - 2abi. Adunăm: z2+z‾2=2(a2−b2)z^2 + \overline{z}^2 = 2(a^2 - b^2).
32 puncte
Din enunț, z2+z‾2=34z^2 + \overline{z}^2 = 34, deci 2(a2−b2)=342(a^2 - b^2) = 34, adică a2−b2=17a^2 - b^2 = 17.
42 puncte
Avem sistemul: {a2+b2=25a2−b2=17\begin{cases} a^2 + b^2 = 25 \\ a^2 - b^2 = 17 \end{cases}. Adunând ecuațiile: 2a2=422a^2 = 42, deci a2=21a^2 = 21 și a=±21a = \pm\sqrt{21}. Scăzând: 2b2=82b^2 = 8, deci b2=4b^2 = 4 și b=±2b = \pm 2.
51 punct
Soluțiile sunt perechile (a,b)=(21,2),(21,−2),(−21,2),(−21,−2)(a, b) = (\sqrt{21}, 2), (\sqrt{21}, -2), (-\sqrt{21}, 2), (-\sqrt{21}, -2), toate verifică condițiile. Total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.