MediuProgresii AritmeticeClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeFuncția de gradul al II-leaLogaritmi
Fie (an)n≥1(a_n)_{n\ge1} o progresie aritmetică cu a1=3a_1=3 și rația rr. Se știe că a3a_3, a5a_5 și a9a_9 sunt în această ordine termenii unei progresii geometrice cu rația pozitivă qq. Dacă a7a_7 este rădăcină a ecuației x2−8x+7=0x^2-8x+7=0, aflați numărul real xx astfel încât log⁡a5(x2−3x+2)\log_{a_5}(x^2-3x+2) să fie definit.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrierea termenilor progresiei aritmetice: an=a1+(n−1)ra_n=a_1+(n-1)r, deci a3=3+2ra_3=3+2r, a5=3+4ra_5=3+4r, a7=3+6ra_7=3+6r, a9=3+8ra_9=3+8r.
22 puncte
Din progresia geometrică: (a5)2=a3⋅a9(a_5)^2=a_3\cdot a_9, adică (3+4r)2=(3+2r)(3+8r)(3+4r)^2=(3+2r)(3+8r). Rezolvând ecuația: 9+24r+16r2=9+24r+16r2⇒0=09+24r+16r^2=9+24r+16r^2\Rightarrow 0=0, ecuația este identică, deci nu se obține rr.
33 puncte
Din ecuația x2−8x+7=0x^2-8x+7=0, cu a7a_7 ca rădăcină. Rădăcinile sunt x1=1x_1=1 și x2=7x_2=7. Deoarece a7=3+6ra_7=3+6r, avem două cazuri: 3+6r=1⇒r=−133+6r=1\Rightarrow r=-\frac{1}{3} sau 3+6r=7⇒r=233+6r=7\Rightarrow r=\frac{2}{3}.
42 puncte
Condiția pentru progresia geometrică cu rație pozitivă qq. Pentru r=−13r=-\frac{1}{3}: a3=3−23=73a_3=3-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}, a5=3−43=53a_5=3-\frac{4}{3}=\frac{5}{3}, a9=3−83=13a_9=3-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}, iar q=a5a3=5/37/3=57>0q=\frac{a_5}{a_3}=\frac{5/3}{7/3}=\frac{5}{7}>0, acceptabil. Pentru r=23r=\frac{2}{3}: a3=3+43=133a_3=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}, a5=3+83=173a_5=3+\frac{8}{3}=\frac{17}{3}, a9=3+163=253a_9=3+\frac{16}{3}=\frac{25}{3}, q=17/313/3=1713>0q=\frac{17/3}{13/3}=\frac{17}{13}>0, de asemenea acceptabil. Ambele valori ale lui rr satisfac.
51 punct
Condiția de definiție pentru log⁡a5(x2−3x+2)\log_{a_5}(x^2-3x+2): a5>0a_5>0, a5≠1a_5\ne1 și x2−3x+2>0x^2-3x+2>0. Din calcule: pentru r=−13r=-\frac{1}{3}, a5=53>0a_5=\frac{5}{3}>0, ≠1\ne1; pentru r=23r=\frac{2}{3}, a5=173>0a_5=\frac{17}{3}>0, ≠1\ne1. Inegalitatea x2−3x+2>0⇒(x−1)(x−2)>0⇒x∈(−∞,1)∪(2,∞)x^2-3x+2>0\Rightarrow (x-1)(x-2)>0\Rightarrow x\in(-\infty,1)\cup(2,\infty). Acesta este răspunsul, independent de rr.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.