MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateIntegrale definite
Fie funcția f:[0,∞)→Rf: [0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x}. a) Studiați monotonia funcției și determinați punctele de extrem. b) Calculați integrala ∫02f(x)dx\int_0^2 f(x) dx și interpretați rezultatul ca arie a unei regiuni plane.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează derivata: f′(x)=2xe−x−x2e−x=xe−x(2−x)f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x e^{-x} (2 - x). Se găsesc punctele critice: f′(x)=0⇒x=0f'(x)=0 \Rightarrow x=0 sau x=2x=2.
23 puncte
Se studiază semnul derivatei pe [0,∞)[0, \infty): pentru x∈(0,2)x \in (0,2), f′(x)>0f'(x) > 0; pentru x>2x > 2, f′(x)<0f'(x) < 0. Deci, funcția este crescătoare pe [0,2][0,2] și descrescătoare pe [2,∞)[2, \infty). Punctul x=2x=2 este maxim local și global, iar x=0x=0 este minim local.
34 puncte
Se calculează integrala ∫02x2e−xdx\int_0^2 x^2 e^{-x} dx prin integrare prin părți de două ori: fie u=x2u=x^2, dv=e−xdxdv=e^{-x}dx, atunci du=2xdxdu=2x dx, v=−e−xv=-e^{-x}; prima integrare dă −x2e−x+∫2xe−xdx-x^2 e^{-x} + \int 2x e^{-x} dx. Apoi, pentru ∫2xe−xdx\int 2x e^{-x} dx, se integrează din nou prin părți. Rezultatul final: ∫02x2e−xdx=[−x2e−x−2xe−x−2e−x]02=2−10e−2\int_0^2 x^2 e^{-x} dx = [-x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2 e^{-x}]_0^2 = 2 - 10e^{-2}. Interpretarea: acesta reprezintă aria regiunii delimitate de graficul funcției ff, axa Ox și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.