MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (an)(a_n) o progresie aritmetică. Dacă a1+a2+a3=12a_1 + a_2 + a_3 = 12 și a12+a22+a32=56a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 56, determinați primul termen a1a_1 și rația rr.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Exprimați a2a_2 și a3a_3 în funcție de a1a_1 și rr: a2=a1+ra_2 = a_1 + r, a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r.
23 puncte
Scrieți ecuațiile din enunț: a1+(a1+r)+(a1+2r)=12a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) = 12 și a12+(a1+r)2+(a1+2r)2=56a_1^2 + (a_1 + r)^2 + (a_1 + 2r)^2 = 56.
32 puncte
Simplificați prima ecuație: 3a1+3r=12⇒a1+r=43a_1 + 3r = 12 \Rightarrow a_1 + r = 4.
42 puncte
Înlocuiți a1+r=4a_1 + r = 4 în a doua ecuație. Din a1+r=4a_1 + r = 4, avem r=4−a1r = 4 - a_1. Înlocuim: a12+(4)2+(a1+2(4−a1))2=a12+16+(8−a1)2=a12+16+64−16a1+a12=2a12−16a1+80=56⇒2a12−16a1+24=0⇒a12−8a1+12=0⇒(a1−2)(a1−6)=0⇒a1=2a_1^2 + (4)^2 + (a_1 + 2(4 - a_1))^2 = a_1^2 + 16 + (8 - a_1)^2 = a_1^2 + 16 + 64 - 16a_1 + a_1^2 = 2a_1^2 - 16a_1 + 80 = 56 \Rightarrow 2a_1^2 - 16a_1 + 24 = 0 \Rightarrow a_1^2 - 8a_1 + 12 = 0 \Rightarrow (a_1 - 2)(a_1 - 6) = 0 \Rightarrow a_1 = 2 sau a1=6a_1 = 6. Atunci r=4−a1r = 4 - a_1, deci pentru a1=2a_1 = 2, r=2r = 2; pentru a1=6a_1 = 6, r=−2r = -2. Ambele soluții satisfac condițiile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.