MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorAsimptoteDerivate
Studiați funcția f:R∖{−1,1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x2−1f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 - 1}. Determinați domeniul de definiție, asimptotele, monotonie și punctele de extrem.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: x2−1≠0x^2 - 1 \neq 0, deci x≠±1x \neq \pm 1, adică Df=R∖{−1,1}D_f = \mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \}.
23 puncte
Calculul asimptotelor: asimptotă orizontală y=lim⁡x→±∞f(x)=1y = \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1, asimptote verticale la x=−1x = -1 și x=1x = 1 deoarece lim⁡x→−1−f(x)=−∞\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty, lim⁡x→−1+f(x)=+∞\lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty, lim⁡x→1−f(x)=−∞\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty, lim⁡x→1+f(x)=+∞\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty.
33 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=−6x(x2−1)2f'(x) = \frac{-6x}{(x^2 - 1)^2}; studiul semnului: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x<0,x≠−1x < 0, x \neq -1, deci funcția este crescătoare pe (−∞,−1)(-\infty, -1) și (−1,0](-1, 0]; f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x>0,x≠1x > 0, x \neq 1, deci descrescătoare pe [0,1)[0, 1) și (1,∞)(1, \infty); punct de maxim la x=0x = 0 cu f(0)=−2f(0) = -2.
42 puncte
Concluzii: funcția are un maxim local în (0,−2)(0, -2), asimptote specificate și monotonie descrisă; se poate schița graficul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.