MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivate
Fie f(x)=exsin⁡xf(x) = e^{x} \sin x. Să se determine o primitivă FF a lui ff astfel încât F(0)=1F(0)=1, și apoi să se calculeze F(π)F(\pi).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
15 puncte
Se găsește primitiva generală folosind integrarea prin părți. Fie I=∫exsin⁡xdxI = \int e^{x} \sin x dx. Cu u=sin⁡xu = \sin x, dv=exdxdv = e^{x} dx, avem du=cos⁡xdxdu = \cos x dx, v=exv = e^{x}, deci I=exsin⁡x−∫excos⁡xdxI = e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x dx. Apoi, pentru ∫excos⁡xdx\int e^{x} \cos x dx, se aplică din nou integrarea prin părți cu u=cos⁡xu = \cos x, dv=exdxdv = e^{x} dx, obținând ∫excos⁡xdx=excos⁡x+∫exsin⁡xdx=excos⁡x+I\int e^{x} \cos x dx = e^{x} \cos x + \int e^{x} \sin x dx = e^{x} \cos x + I. Înlocuind, I=exsin⁡x−(excos⁡x+I)I = e^{x} \sin x - (e^{x} \cos x + I), deci 2I=ex(sin⁡x−cos⁡x)2I = e^{x} (\sin x - \cos x), iar I=ex2(sin⁡x−cos⁡x)+CI = \frac{e^{x}}{2} (\sin x - \cos x) + C. Astfel, F(x)=ex2(sin⁡x−cos⁡x)+CF(x) = \frac{e^{x}}{2} (\sin x - \cos x) + C.
22 puncte
Se aplică condiția F(0)=1F(0)=1: 1=e02(sin⁡0−cos⁡0)+C=12(0−1)+C=−12+C1 = \frac{e^{0}}{2} (\sin 0 - \cos 0) + C = \frac{1}{2}(0 - 1) + C = -\frac{1}{2} + C, deci C=32C = \frac{3}{2}.
33 puncte
Se calculează F(π)F(\pi): F(π)=eπ2(sin⁡π−cos⁡π)+32=eπ2(0−(−1))+32=eπ2+32F(\pi) = \frac{e^{\pi}}{2} (\sin \pi - \cos \pi) + \frac{3}{2} = \frac{e^{\pi}}{2} (0 - (-1)) + \frac{3}{2} = \frac{e^{\pi}}{2} + \frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.