MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorLogaritmiIntegrale definite
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx2f(x) = \frac{\ln x}{x^2}. Să se determine: a) Domeniul de definiție și asimptotele; b) Intervalele de monotonie și punctele de extrem; c) Aria mărginită de graficul funcției, axa Ox și dreptele x=1x=1 și x=ex=e.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul: (0,∞)(0, \infty) deoarece ln⁡x\ln x este definit pentru x>0x>0 și x2≠0x^2 \neq 0; asimptote: verticală x=0x=0, deoarece lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+ln⁡xx2=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x^2} = -\infty; orizontală y=0y=0, deoarece lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞ln⁡xx2=0\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^2} = 0.
23 puncte
Derivata: f′(x)=1⋅x2−ln⁡x⋅2xx4=1−2ln⁡xx3f'(x) = \frac{1 \cdot x^2 - \ln x \cdot 2x}{x^4} = \frac{1 - 2\ln x}{x^3}; semnul: f′(x)=0f'(x) = 0 când 1−2ln⁡x=0⇒x=e1/21 - 2\ln x = 0 \Rightarrow x = e^{1/2}; pentru x∈(0,e1/2)x \in (0, e^{1/2}), f′(x)>0f'(x) > 0 (funcție crescătoare); pentru x∈(e1/2,∞)x \in (e^{1/2}, \infty), f′(x)<0f'(x) < 0 (funcție descrescătoare); punct de maxim la x=e1/2x = e^{1/2} cu valoarea f(e1/2)=1/2ef(e^{1/2}) = \frac{1/2}{e}.
32 puncte
Integrala pentru arie: A=∫1ef(x) dx=∫1eln⁡xx2 dxA = \int_1^e f(x) \, dx = \int_1^e \frac{\ln x}{x^2} \, dx.
43 puncte
Rezolvarea integralei: folosind integrarea prin părți cu u=ln⁡xu = \ln x, dv=1x2dxdv = \frac{1}{x^2} dx, obținem ∫ln⁡xx2dx=−ln⁡xx−1x+C\int \frac{\ln x}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C; deci A=[−ln⁡xx−1x]1e=(−1e−1e)−(−0−1)=−2e+1=1−2eA = \left[ -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} \right]_1^e = \left( -\frac{1}{e} - \frac{1}{e} \right) - \left( -0 - 1 \right) = -\frac{2}{e} + 1 = 1 - \frac{2}{e}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.