MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorIntegrale definiteArii și volume
Calculați aria mărginită de graficul funcției f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x), axa OxOx și dreptele x=1x=1 și x=ex=e.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de integrare este [1,e][1, e] deoarece funcția ln⁡(x)\ln(x) este definită pentru x>0x>0 și se cere aria între x=1x=1 și x=ex=e.
23 puncte
Aria este dată de integrala definită A=∫1eln⁡(x)dxA = \int_{1}^{e} \ln(x) dx.
33 puncte
Calculăm o primitivă pentru ln⁡(x)\ln(x) folosind integrarea prin părți: fie u=ln⁡(x)u = \ln(x), dv=dxdv = dx, atunci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=xv = x, deci ∫ln⁡(x)dx=xln⁡(x)−∫x⋅1xdx=xln⁡(x)−x+C\int \ln(x) dx = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln(x) - x + C.
42 puncte
Evaluăm integrala: A=[xln⁡(x)−x]1e=(eln⁡(e)−e)−(1ln⁡(1)−1)=(e⋅1−e)−(0−1)=0−(−1)=1A = [x \ln(x) - x]_{1}^{e} = (e \ln(e) - e) - (1 \ln(1) - 1) = (e \cdot 1 - e) - (0 - 1) = 0 - (-1) = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.