MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (an)(a_n) o progresie aritmetică cu a1>0a_1 > 0 și d>0d > 0. Dacă a1a_1, a3a_3, și a10a_{10} sunt în progresie geometrică, iar suma primilor 1010 termeni este S10=100S_{10} = 100, să se determine a1a_1 și dd.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem termenii: a3=a1+2da_3 = a_1 + 2d, a10=a1+9da_{10} = a_1 + 9d.
22 puncte
Condiția de progresie geometrică: (a3)2=a1⋅a10(a_3)^2 = a_1 \cdot a_{10}, deci (a1+2d)2=a1(a1+9d)(a_1 + 2d)^2 = a_1(a_1 + 9d).
32 puncte
Obținem ecuația: a12+4a1d+4d2=a12+9a1d  ⟹  4d2=5a1da_1^2 + 4a_1 d + 4d^2 = a_1^2 + 9a_1 d \implies 4d^2 = 5a_1 d. Deoarece d>0d > 0, împărțim la dd: 4d=5a1  ⟹  a1=4d54d = 5a_1 \implies a_1 = \frac{4d}{5}.
42 puncte
Suma S10=102(2a1+9d)=5(2a1+9d)=100  ⟹  2a1+9d=20S_{10} = \frac{10}{2}(2a_1 + 9d) = 5(2a_1 + 9d) = 100 \implies 2a_1 + 9d = 20.
52 puncte
Înlocuim a1=4d5a_1 = \frac{4d}{5}: 2⋅4d5+9d=8d5+9d=53d5=20  ⟹  d=100532 \cdot \frac{4d}{5} + 9d = \frac{8d}{5} + 9d = \frac{53d}{5} = 20 \implies d = \frac{100}{53}. Atunci a1=45⋅10053=8053a_1 = \frac{4}{5} \cdot \frac{100}{53} = \frac{80}{53}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.