MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥0(a_n)_{n \ge 0} definit prin a0=1a_0=1, a1=2a_1=2 și relația de recurență an+2=2an+1−2ana_{n+2} = 2a_{n+1} - 2a_n, pentru orice n≥0n \ge 0. a) Determinați termenul general al șirului. b) Calculați lim⁡n→∞ann⋅2n\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n \cdot 2^n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem ecuația caracteristică asociată recurenței: r2−2r+2=0r^2 - 2r + 2 = 0. Rădăcinile sunt r1=1+ir_1 = 1+i și r2=1−ir_2 = 1-i.\n
23 puncte
Termenul general are forma an=A(1+i)n+B(1−i)na_n = A (1+i)^n + B (1-i)^n. Din condițiile inițiale, obținem sistemul: A+B=1A + B = 1 și A(1+i)+B(1−i)=2A(1+i) + B(1-i) = 2. Rezolvând, găsim A=12−i2A = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} și B=12+i2B = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}.\n
32 puncte
Putem scrie an=(12−i2)(1+i)n+(12+i2)(1−i)na_n = \left( \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \right) (1+i)^n + \left( \frac{1}{2} + \frac{i}{2} \right) (1-i)^n. Folosind forma trigonometrică, 1+i=2eiπ/41+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4} și 1−i=2e−iπ/41-i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}, obținem an=2n/2(cos⁡(nπ/4)+sin⁡(nπ/4))a_n = 2^{n/2} \left( \cos(n\pi/4) + \sin(n\pi/4) \right).\n
42 puncte
Pentru calculul limitei, observăm că ∣an∣≤2n/2⋅2=2n/2+1|a_n| \le 2^{n/2} \cdot 2 = 2^{n/2 + 1} (deoarece ∣cos⁡∣,∣sin⁡∣≤1|\cos|, |\sin| \le 1). Atunci ∣ann⋅2n∣≤2n/2+1n⋅2n=2n⋅2n/2→0\left| \frac{a_n}{n \cdot 2^n} \right| \le \frac{2^{n/2 + 1}}{n \cdot 2^n} = \frac{2}{n \cdot 2^{n/2}} \to 0 când n→∞n \to \infty. Prin urmare, lim⁡n→∞ann⋅2n=0\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n \cdot 2^n} = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.