MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeMonotonie și convexitateContinuitate
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} definit prin x1=1x_1=1 și xn+1=2+xnx_{n+1}=\sqrt{2+x_n} pentru orice n≥1n \ge 1. Arătați că șirul este mărginit și monoton, apoi calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Prin inducție, se arată că 0<xn<20 < x_n < 2 pentru orice nn. Pentru n=1n=1, x1=1∈(0,2)x_1=1\in(0,2). Presupunând 0<xn<20 < x_n < 2, atunci xn+1=2+xnx_{n+1}=\sqrt{2+x_n} cu 2<2+xn<42 < 2+x_n < 4, deci 2<xn+1<2\sqrt{2} < x_{n+1} < 2, deci 0<xn+1<20 < x_{n+1} < 2. Șirul este mărginit.
23 puncte
Pentru monotonie, se demonstrează că șirul este crescător prin inducție: pentru n=1n=1, x2=3>1=x1x_2=\sqrt{3}>1=x_1. Presupunând xn>xn−1x_{n} > x_{n-1}, atunci xn+1=2+xn>2+xn−1=xnx_{n+1}=\sqrt{2+x_n} > \sqrt{2+x_{n-1}}=x_n, deci xn+1>xnx_{n+1}>x_n.
33 puncte
Fiind mărginit și monoton, șirul este convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL=\lim_{n\to\infty} x_n. Trecând la limită în relația de recurență: L=2+LL=\sqrt{2+L}. Rezultă L2=2+LL^2=2+L, deci L2−L−2=0L^2-L-2=0, cu soluții L=2L=2 sau L=−1L=-1. Cum xn>0x_n>0, limita este L=2L=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.