MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateIntegrale definite
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. a) Să se determine punctele de extrem și intervalele de convexitate/concavitate. b) Să se calculeze integrala ∫02f(x)dx\int_0^2 f(x) dx. c) Să se afle aria mărginită de graficul funcției ff și axa OxOx pe intervalul [0,2][0,2].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Derivata întâi: f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2); puncte critice x=0x=0 și x=2x=2; se studiază semnul derivatei pentru a găsi maximele și minimele. Derivata a doua: f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1); se determină punctul de inflexiune la x=1x=1 și intervalele de convexitate (x>1x>1) și concavitate (x<1x<1).
23 puncte
Calculul integralei: ∫02(x3−3x2+2)dx=[x44−x3+2x]02=4−8+4=0\int_0^2 (x^3 - 3x^2 + 2) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + 2x \right]_0^2 = 4 - 8 + 4 = 0.
33 puncte
Determinarea ariei: se găsesc rădăcinile lui f(x)=0f(x)=0 pe [0,2][0,2]: x=1x=1 (deoarece f(1)=0f(1)=0); f(0)=2>0f(0)=2>0, f(2)=−2<0f(2)=-2<0, deci graficul traversează axa la x=1x=1. Aria totală = ∫01f(x)dx+∣∫12f(x)dx∣=54+54=52\int_0^1 f(x) dx + \left| \int_1^2 f(x) dx \right| = \frac{5}{4} + \frac{5}{4} = \frac{5}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.