MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteTrigonometrie
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. Determinați o primitivă FF a funcției ff care verifică F(0)=1F(0) = 1. Apoi, calculați ∫0πf(x)dx\int_0^{\pi} f(x) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aplicăm integrarea prin părți pentru a găsi o primitivă generală a lui ff. Notăm I=∫e2xsin⁡xdxI = \int e^{2x} \sin x dx și folosim integrarea prin părți de două ori, obținând I=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5+CI = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5} + C.
23 puncte
Din F(0)=1F(0) = 1, avem C=1+15=65C = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}, deci F(x)=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5+65F(x) = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5} + \frac{6}{5}.
33 puncte
Calculăm ∫0πf(x)dx=F(π)−F(0)=(e2π(2sin⁡π−cos⁡π)5+65)−(1(2⋅0−1)5+65)=e2π(0−(−1))5−−15=e2π+15\int_0^{\pi} f(x) dx = F(\pi) - F(0) = \left( \frac{e^{2\pi}(2\sin \pi - \cos \pi)}{5} + \frac{6}{5} \right) - \left( \frac{1(2\cdot0 - 1)}{5} + \frac{6}{5} \right) = \frac{e^{2\pi}(0 - (-1))}{5} - \frac{-1}{5} = \frac{e^{2\pi} + 1}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.