MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Să se calculeze aria suprafeței plane delimitate de graficele funcțiilor f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 și g(x)=−x2+2x+3g(x) = -x^2 + 2x + 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Determinarea punctelor de intersecție ale graficelor. Se rezolvă f(x)=g(x)f(x) = g(x), adică x2−4x+3=−x2+2x+3x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 2x + 3. Se obține 2x2−6x=02x^2 - 6x = 0, deci 2x(x−3)=02x(x-3)=0, cu soluțiile x=0x=0 și x=3x=3.
22 puncte
Stabilirea care funcție este deasupra pe intervalul [0,3][0,3]. Se evaluează, de exemplu, la x=1x=1: f(1)=0f(1)=0, g(1)=4g(1)=4, deci g(x)>f(x)g(x) > f(x) pe [0,3][0,3]. Astfel, aria este dată de ∫03(g(x)−f(x))dx\int_0^3 (g(x) - f(x)) dx.
33 puncte
Calculul integralei. ∫03(g(x)−f(x))dx=∫03((−x2+2x+3)−(x2−4x+3))dx=∫03(−2x2+6x)dx\int_0^3 (g(x) - f(x)) dx = \int_0^3 ((-x^2 + 2x + 3) - (x^2 - 4x + 3)) dx = \int_0^3 (-2x^2 + 6x) dx.
42 puncte
Efectuarea integrării. ∫03(−2x2+6x)dx=[−23x3+3x2]03=(−23⋅27+3⋅9)−0=(−18+27)=9\int_0^3 (-2x^2 + 6x) dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 \right]_0^3 = \left( -\frac{2}{3} \cdot 27 + 3 \cdot 9 \right) - 0 = (-18 + 27) = 9. Deci aria este 9 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.