MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Fie funcția f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3x−2f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x-2}. a) Determinați domeniul de definiție și asimptotele funcției. b) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem ale funcției. c) Reprezentați grafic funcția.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\} deoarece numitorul se anulează pentru x=2x=2. Asimptota verticală: x=2x=2; se calculează limitele laterale: lim⁡x→2,x<2f(x)=−∞\lim_{x \to 2, x<2} f(x) = -\infty și lim⁡x→2,x>2f(x)=+∞\lim_{x \to 2, x>2} f(x) = +\infty.
22 puncte
Asimptota oblică: se calculează m=lim⁡x→±∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și n=lim⁡x→±∞(f(x)−x)=−2n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - x) = -2, deci asimptota este y=x−2y = x - 2.
33 puncte
Derivata: f′(x)=x2−4x+5(x−2)2f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 5}{(x-2)^2}. Numitorul este pozitiv, iar numărătorul are Δ=−4<0\Delta = -4 < 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈R∖{2}x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}. Funcția este strict crescătoare pe (−∞,2)(-\infty, 2) și pe (2,+∞)(2, +\infty).
42 puncte
Nu există puncte de extrem deoarece derivata nu se anulează și funcția este monotonă pe fiecare interval al domeniului.
51 punct
Reprezentarea grafică: se trasează asimptotele x=2x=2 și y=x−2y=x-2, apoi ramurile crescătoare ale funcției, respectând limitele la asimptote.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.