MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeLogaritmi
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=3an+4a_{n+1} = 3a_n + 4 pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}, unde bn=log⁡2(an+2)b_n = \log_2(a_n + 2), este o progresie aritmetică. Determinați apoi suma primilor 10 termeni ai șirului bnb_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se observă că an+1+2=3(an+2)a_{n+1} + 2 = 3(a_n + 2). Atunci șirul (an+2)(a_n + 2) este o progresie geometrică cu rația 33 și termenul inițial a1+2=4a_1 + 2 = 4. Deci an+2=4⋅3n−1a_n + 2 = 4 \cdot 3^{n-1}, adică an=4⋅3n−1−2a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2.
23 puncte
Atunci bn=log⁡2(an+2)=log⁡2(4⋅3n−1)=log⁡24+(n−1)log⁡23=2+(n−1)log⁡23b_n = \log_2(a_n + 2) = \log_2(4 \cdot 3^{n-1}) = \log_2 4 + (n-1) \log_2 3 = 2 + (n-1) \log_2 3. Aceasta este formula termenului general al unei progresii aritmetice cu primul termen b1=2b_1 = 2 și rația r=log⁡23r = \log_2 3.
33 puncte
Suma primilor 10 termeni ai progresiei aritmetice bnb_n este S10=10⋅(b1+b10)2=5⋅(2+(2+9log⁡23))=5⋅(4+9log⁡23)=20+45log⁡23S_{10} = \frac{10 \cdot (b_1 + b_{10})}{2} = 5 \cdot (2 + (2 + 9 \log_2 3)) = 5 \cdot (4 + 9 \log_2 3) = 20 + 45 \log_2 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.