MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorAplicații ale derivatelorAsimptote
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x+3x−1f(x) = \frac{x^2 + 2x + 3}{x-1}. a) Determinați asimptotele funcției ff. b) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem ale funcției ff. c) Studiați convexitatea/concavitatea și determinați punctele de inflexiune ale funcției ff. d) Reprezentați grafic funcția ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se determină domeniul de definiție Df=R∖{1}D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}. Asimptota verticală: x=1x=1 deoarece lim⁡x→1−f(x)=−∞\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty și lim⁡x→1+f(x)=+∞\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty. Asimptota oblică: se scrie f(x)=x+3+6x−1f(x) = x+3 + \frac{6}{x-1}, deci y=x+3y=x+3 este asimptotă oblică la ±∞\pm\infty.
23 puncte
Se calculează derivata f′(x)=(2x+2)(x−1)−(x2+2x+3)(x−1)2=x2−2x−5(x−1)2f'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 5}{(x-1)^2}. Se rezolvă f′(x)=0⇒x2−2x−5=0⇒x1,2=1±6f'(x)=0 \Rightarrow x^2-2x-5=0 \Rightarrow x_{1,2}=1\pm\sqrt{6}. Se studiază semnul lui f′f': f′(x)>0f'(x)>0 pentru x∈(−∞,1−6)∪(1+6,+∞)x \in (-\infty, 1-\sqrt{6}) \cup (1+\sqrt{6}, +\infty) (funcție crescătoare) și f′(x)<0f'(x)<0 pentru x∈(1−6,1)∪(1,1+6)x \in (1-\sqrt{6}, 1) \cup (1, 1+\sqrt{6}) (funcție descrescătoare). Punctele de extrem sunt x=1−6x=1-\sqrt{6} (maxim local) și x=1+6x=1+\sqrt{6} (minim local).
32 puncte
Se calculează derivata a doua f′′(x)=(2x−2)(x−1)2−(x2−2x−5)⋅2(x−1)(x−1)4=12(x−1)3f''(x) = \frac{(2x-2)(x-1)^2 - (x^2-2x-5)\cdot2(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{12}{(x-1)^3}. Se studiază semnul: f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x>1x>1 (convexă) și f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x<1x<1 (concavă). Nu există puncte de inflexiune deoarece f′′f'' nu se anulează.
42 puncte
Se trasează graficul folosind informațiile de la pașii anteriori: se marchează asimptotele, punctele de extrem, și comportamentul funcției pe intervale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.