MediuProbabilitățiClasa 10

Problemă rezolvată de Probabilități

MediuProbabilitățiCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie n∈Nn \in \mathbb{N}, n≥2n \geq 2. Într-o cutie se află nn bile numerotate de la 1 la nn. Se extrag la întâmplare două bile simultan. Calculați probabilitatea ca produsul numerelor de pe bilele extrase să fie un număr par, în funcție de nn. Apoi, determinați toate valorile lui nn pentru care această probabilitate este mai mare sau egală cu 34\frac{3}{4}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Numărul total de cazuri posibile la extragerea a două bile este Cn2=n(n−1)2C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}.
24 puncte
Produsul este par dacă cel puțin una dintre bile are număr par. Probabilitatea complementară este ca ambele bile să aibă numere impare. Dacă nn este par, n=2kn=2k, atunci sunt kk numere pare și kk impare. Probabilitatea ca ambele să fie impare este Ck2C2k2=k(k−1)/2k(2k−1)=k−12(2k−1)\frac{C_k^2}{C_{2k}^2} = \frac{k(k-1)/2}{k(2k-1)} = \frac{k-1}{2(2k-1)}, deci probabilitatea cerută este P=1−k−12(2k−1)P = 1 - \frac{k-1}{2(2k-1)}. Dacă nn este impar, n=2k+1n=2k+1, atunci sunt kk numere pare și k+1k+1 impare. Probabilitatea ca ambele să fie impare este Ck+12C2k+12=(k+1)k/2k(2k+1)=k+12(2k+1)\frac{C_{k+1}^2}{C_{2k+1}^2} = \frac{(k+1)k/2}{k(2k+1)} = \frac{k+1}{2(2k+1)}, deci P=1−k+12(2k+1)P = 1 - \frac{k+1}{2(2k+1)}.
34 puncte
Se rezolvă inecuația P≥34P \geq \frac{3}{4}. Pentru n=2kn=2k: 1−k−12(2k−1)≥34⇒k−12(2k−1)≤14⇒4(k−1)≤2(2k−1)⇒4k−4≤4k−2⇒−4≤−21 - \frac{k-1}{2(2k-1)} \geq \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{k-1}{2(2k-1)} \leq \frac{1}{4} \Rightarrow 4(k-1) \leq 2(2k-1) \Rightarrow 4k-4 \leq 4k-2 \Rightarrow -4 \leq -2, adevărat pentru orice k≥1k \geq 1, deci pentru orice nn par, n≥2n \geq 2, inecuația este satisfăcută. Pentru n=2k+1n=2k+1: 1−k+12(2k+1)≥34⇒k+12(2k+1)≤14⇒4(k+1)≤2(2k+1)⇒4k+4≤4k+2⇒4≤21 - \frac{k+1}{2(2k+1)} \geq \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{k+1}{2(2k+1)} \leq \frac{1}{4} \Rightarrow 4(k+1) \leq 2(2k+1) \Rightarrow 4k+4 \leq 4k+2 \Rightarrow 4 \leq 2, fals, deci pentru nn impar, inecuația nu este satisfăcută. Astfel, probabilitatea este ≥34\geq \frac{3}{4} pentru toate valorile pare ale lui nn, n≥2n \geq 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Probabilități

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.
Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.
Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)
Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.
Vezi toate problemele de Probabilități →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.