MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (yn)(y_n) definit prin y1=1y_1 = 1 și yn+1=yn+1yny_{n+1} = y_n + \frac{1}{y_n} pentru n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că yn≥ny_n \geq \sqrt{n} pentru orice n≥1n \geq 1, și deduceți că lim⁡n→∞yn=∞\lim_{n \to \infty} y_n = \infty.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Verificați cazul de bază al inducției: pentru n=1n=1, y1=1≥1y_1 = 1 \geq \sqrt{1}.
24 puncte
Presupunând că yn≥ny_n \geq \sqrt{n} pentru un n≥1n \geq 1, demonstrați că yn+1≥n+1y_{n+1} \geq \sqrt{n+1} folosind inegalități algebrice.
32 puncte
Arătați că șirul (yn)(y_n) este crescător și nemărginit superior.
43 puncte
Concluzionați că, deoarece yn≥ny_n \geq \sqrt{n} și lim⁡n→∞n=∞\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} = \infty, avem lim⁡n→∞yn=∞\lim_{n \to \infty} y_n = \infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.