MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 11

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații iraționaleDerivate
Determinați toate numerele reale aa pentru care ecuația x−a+2a−x=a\sqrt{x-a} + \sqrt{2a-x} = a are cel puțin o soluție reală.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificăm domeniul de definiție pentru xx: x≥ax \geq a și x≤2ax \leq 2a, deci a≤x≤2aa \leq x \leq 2a. Pentru ca acest interval să fie nevid, trebuie ca a≤2aa \leq 2a, adică a≥0a \geq 0. |
23 puncte
Considerăm funcția f(x)=x−a+2a−xf(x) = \sqrt{x-a} + \sqrt{2a-x} pe intervalul [a,2a][a, 2a]. Se arată că imaginea funcției este [a,2a][\sqrt{a}, \sqrt{2a}] pentru a>0a > 0 (folosind, de exemplu, derivata sau proprietăți de simetrie), iar pentru a=0a=0, f(x)=0f(x)=0. |
33 puncte
Ecuația are soluție dacă și numai dacă aa aparține imaginii funcției ff, adică a≤a≤2a\sqrt{a} \leq a \leq \sqrt{2a}. Rezolvăm inecuațiile: a≤a\sqrt{a} \leq a implică a≥1a \geq 1 sau a=0a=0, iar a≤2aa \leq \sqrt{2a} implică 0≤a≤20 \leq a \leq 2. |
42 puncte
Combinând condițiile, obținem a=0a = 0 sau 1≤a≤21 \leq a \leq 2. Deci mulțimea soluțiilor este {0}∪[1,2]\{0\} \cup [1, 2].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.