MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorContinuitateAsimptote
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={ex−1x,daca˘ x≠01,daca˘ x=0f(x) = \begin{cases} \frac{e^x - 1}{x}, & \text{dacă } x \neq 0 \\ 1, & \text{dacă } x = 0 \end{cases}. Studiați funcția ff: determinați domeniul de definiție, continuitatea, derivabilitatea, asimptotele și intervalele de monotonie.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Domeniul de definiție este R\mathbb{R} deoarece funcția este definită pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.
22 puncte
Studiem continuitatea în x=0x=0: lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0ex−1x=1=f(0)\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 = f(0), deci ff este continuă pe R\mathbb{R}.
33 puncte
Derivabilitatea. Pentru x≠0x \neq 0, f′(x)=xex−(ex−1)x2=ex(x−1)+1x2f'(x) = \frac{x e^x - (e^x - 1)}{x^2} = \frac{e^x(x-1) + 1}{x^2}. În x=0x=0, f′(0)=lim⁡h→0f(h)−f(0)h=lim⁡h→0eh−1h−1h=lim⁡h→0eh−1−hh2=12f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{e^h -1}{h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^h -1 - h}{h^2} = \frac{1}{2}.
42 puncte
Asimptote. lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞ex−1x=0\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x - 1}{x} = 0, deci dreapta y=0y=0 este asimptotă orizontală spre −∞-\infty. lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, și lim⁡x→+∞f(x)x=+∞\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty, deci nu există asimptotă oblică spre +∞+\infty.
52 puncte
Monotonie. Pentru x≠0x \neq 0, f′(x)=ex(x−1)+1x2>0f'(x) = \frac{e^x(x-1) + 1}{x^2} > 0 deoarece funcția g(x)=ex(x−1)+1g(x) = e^x(x-1)+1 are g′(x)=exxg'(x) = e^x x, deci gg are minim în x=0x=0 cu g(0)=0g(0)=0, iar pentru x≠0x \neq 0, g(x)>0g(x) > 0. Împreună cu f′(0)=12>0f'(0) = \frac{1}{2} > 0, rezultă că ff este strict crescătoare pe R\mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.