MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Să se studieze funcția f:D→Rf : D \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}, unde DD este domeniul maxim de definiție. Determinați domeniul de definiție, asimptotele, intervalele de monotonie, punctele de extrem și comportarea la limită.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: ln⁡x\ln x este definit pentru x>0x > 0, deci D=(0,+∞)D = (0, +\infty).
23 puncte
Studiul asimptotelor: asimptotă verticală x=0x=0 deoarece lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty; asimptotă orizontală y=0y=0 deoarece lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0; nu există asimptotă oblică.
33 puncte
Derivata funcției: f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}. Rezolvând f′(x)=0f'(x)=0 se obține x=ex=e. Tabel de semn: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(0,e)x \in (0,e) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(e,+∞)x \in (e, +\infty), deci funcția este crescătoare pe (0,e](0,e] și descrescătoare pe [e,+∞)[e, +\infty). Punct de maxim local la x=ex=e, f(e)=1ef(e)= \frac{1}{e}.
42 puncte
Concluzii: funcția are un maxim global la x=ex=e, valorile extreme și se observă că este mărginită superior; se completează cu interpretarea graficului.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.