MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeMatematică financiarăProcente
O bancă oferă un cont de economii cu dobândă compusă anuală de 5%. La deschiderea contului, se depune suma inițială de 1000 de lei. a) Notând cu SnS_n suma disponibilă după nn ani, să se arate că Sn=1000⋅(1.05)nS_n = 1000 \cdot (1.05)^n și să se calculeze S5S_5. b) Să se determine cel mai mic număr natural nn pentru care Sn>1500S_n > 1500. c) Dacă după fiecare an se mai depune încă 200 de lei (în plus față de dobânda acumulată), să se scrie relația de recurență pentru TnT_n, suma după nn ani, și să se afle TnT_n în funcție de nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
După un an, suma devine S1=1000+5%⋅1000=1000⋅1.05S_1 = 1000 + 5\% \cdot 1000 = 1000 \cdot 1.05. Prin inducție, Sn+1=Sn⋅1.05S_{n+1} = S_n \cdot 1.05, deci Sn=1000⋅(1.05)nS_n = 1000 \cdot (1.05)^n. Calculăm S5=1000⋅(1.05)5≈1000⋅1.27628=1276.28S_5 = 1000 \cdot (1.05)^5 \approx 1000 \cdot 1.27628 = 1276.28 lei.
23 puncte
Trebuie să rezolvăm inecuația 1000⋅(1.05)n>15001000 \cdot (1.05)^n > 1500, adică (1.05)n>1.5(1.05)^n > 1.5. Logaritmăm: n⋅ln⁡(1.05)>ln⁡(1.5)n \cdot \ln(1.05) > \ln(1.5), deci n>ln⁡(1.5)ln⁡(1.05)n > \frac{\ln(1.5)}{\ln(1.05)}. Calculând, ln⁡(1.5)≈0.4055\ln(1.5) \approx 0.4055, ln⁡(1.05)≈0.0488\ln(1.05) \approx 0.0488, deci n>8.31n > 8.31. Cel mai mic număr natural este n=9n = 9.
34 puncte
Pentru șirul (Tn)(T_n), avem T0=1000T_0 = 1000 și Tn+1=1.05Tn+200T_{n+1} = 1.05 T_n + 200 pentru n≥0n \geq 0. Acest șir este o recurență liniară. Termenul general se obține: Tn=1.05n⋅1000+200⋅1.05n−11.05−1=1000⋅1.05n+200⋅1.05n−10.05=1000⋅1.05n+4000⋅(1.05n−1)=5000⋅1.05n−4000T_n = 1.05^n \cdot 1000 + 200 \cdot \frac{1.05^n - 1}{1.05 - 1} = 1000 \cdot 1.05^n + 200 \cdot \frac{1.05^n - 1}{0.05} = 1000 \cdot 1.05^n + 4000 \cdot (1.05^n - 1) = 5000 \cdot 1.05^n - 4000.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.