MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 10

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeLogaritmi
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡12(x2−4)+log⁡2(x+2)=1\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4) + \log_{2}(x + 2) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se determină domeniul de definiție: pentru log⁡12(x2−4)\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4) avem x2−4>0x^2 - 4 > 0, deci x<−2x < -2 sau x>2x > 2; pentru log⁡2(x+2)\log_{2}(x + 2) avem x+2>0x + 2 > 0, deci x>−2x > -2. Combinând, domeniul este x>2x > 2.
23 puncte
Se schimbă baza logaritmului: log⁡12(x2−4)=log⁡2(x2−4)log⁡2(12)=−log⁡2(x2−4)\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4) = \frac{\log_2(x^2 - 4)}{\log_2(\frac{1}{2})} = -\log_2(x^2 - 4). Ecuația devine −log⁡2(x2−4)+log⁡2(x+2)=1-\log_2(x^2 - 4) + \log_2(x + 2) = 1.
33 puncte
Se aplică proprietățile logaritmilor: log⁡2x+2x2−4=1\log_2 \frac{x+2}{x^2-4} = 1. Atunci x+2x2−4=2\frac{x+2}{x^2-4} = 2. Se observă că x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4 = (x-2)(x+2), deci pentru x>2x > 2, x+2(x−2)(x+2)=2\frac{x+2}{(x-2)(x+2)} = 2, adică 1x−2=2\frac{1}{x-2} = 2. Rezultă x−2=12x-2 = \frac{1}{2}, deci x=52x = \frac{5}{2}.
42 puncte
Se verifică că x=52x = \frac{5}{2} aparține domeniului x>2x > 2 și se substituie în ecuația inițială pentru confirmare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.