MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 10

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeLogaritmiSisteme de Ecuații Neliniare
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale pozitive sistemul de ecuații: {log⁡xy+log⁡yx=52x+y=6\begin{cases} \log_x y + \log_y x = \frac{5}{2} \\ x+y = 6 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Notăm t=log⁡xyt = \log_x y. Atunci log⁡yx=1t\log_y x = \frac{1}{t}, iar prima ecuație devine t+1t=52t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}.
22 puncte
Rezolvăm ecuația: t+1t=52t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} multiplicând cu 2t2t: 2t2+2=5t2t^2 + 2 = 5t, deci 2t2−5t+2=02t^2 - 5t + 2 = 0.
32 puncte
Soluțiile ecuației sunt t1=2t_1 = 2 și t2=12t_2 = \frac{1}{2}. Deoarece t=log⁡xyt = \log_x y, avem y=xty = x^t.
42 puncte
Pentru t=2t=2, y=x2y = x^2. Înlocuim în x+y=6x+y=6: x+x2=6x + x^2 = 6, deci x2+x−6=0x^2 + x - 6 = 0. Soluțiile sunt x1=2x_1 = 2 și x2=−3x_2 = -3. Cum x>0x>0, avem x=2x=2, deci y=4y=4.
52 puncte
Pentru t=12t=\frac{1}{2}, y=xy = \sqrt{x}. Înlocuim: x+x=6x + \sqrt{x} = 6. Notăm u=xu = \sqrt{x}, u>0u>0, ecuația devine u2+u−6=0u^2 + u - 6 = 0. Soluțiile sunt u1=2u_1 = 2 și u2=−3u_2 = -3. u>0u>0, deci u=2u=2, atunci x=4x=4, y=2y=2. Soluțiile sistemului sunt (2,4)(2,4) și (4,2)(4,2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.