MediuProbabilitățiClasa 10

Problemă rezolvată de Probabilități

MediuProbabilitățiCombinatorică
Două urne, U1U_1 și U2U_2, conțin bile albe și negre. Urna U1U_1 are 5 bile albe și 3 bile negre, iar urna U2U_2 are 4 bile albe și 4 bile negre. Se alege la întâmplare o urnă (cu probabilitate egală) și din ea se extrag două bile simultan. Dacă bilele extrase sunt de aceeași culoare, să se calculeze probabilitatea ca ele să provină din urna U1U_1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm probabilitatea ca bilele extrase să fie de aceeași culoare din fiecare urnă. Pentru U1U_1: numărul total de moduri de a alege 2 bile din 8 este C82=28C_{8}^{2}=28. Numărul de moduri pentru 2 bile albe: C52=10C_{5}^{2}=10, pentru 2 bile negre: C32=3C_{3}^{2}=3. Deci P(aceeași culoare∣U1)=10+328=1328P(\text{aceeași culoare} \mid U_1)=\frac{10+3}{28}=\frac{13}{28}. Pentru U2U_2: C82=28C_{8}^{2}=28, pentru 2 bile albe: C42=6C_{4}^{2}=6, pentru 2 bile negre: C42=6C_{4}^{2}=6, deci P(aceeași culoare∣U2)=6+628=1228P(\text{aceeași culoare} \mid U_2)=\frac{6+6}{28}=\frac{12}{28}.
23 puncte
Calculăm probabilitatea totală a evenimentului „bilele extrase sunt de aceeași culoare” folosind formula probabilității totale: P(aceeași culoare)=P(U1)⋅P(aceeași culoare∣U1)+P(U2)⋅P(aceeași culoare∣U2)=12⋅1328+12⋅1228=1356+1256=2556P(\text{aceeași culoare})=P(U_1)\cdot P(\text{aceeași culoare} \mid U_1)+P(U_2)\cdot P(\text{aceeași culoare} \mid U_2)=\frac{1}{2}\cdot\frac{13}{28}+\frac{1}{2}\cdot\frac{12}{28}=\frac{13}{56}+\frac{12}{56}=\frac{25}{56}.
34 puncte
Aplicăm formula probabilității condiționate (teorema lui Bayes) pentru a găsi P(U1∣aceeași culoare)P(U_1 \mid \text{aceeași culoare}): P(U1∣aceeași culoare)=P(U1∩aceeași culoare)P(aceeași culoare)=P(U1)⋅P(aceeași culoare∣U1)P(aceeași culoare)=12⋅13282556=13/5625/56=1325P(U_1 \mid \text{aceeași culoare})=\frac{P(U_1 \cap \text{aceeași culoare})}{P(\text{aceeași culoare})}=\frac{P(U_1)\cdot P(\text{aceeași culoare} \mid U_1)}{P(\text{aceeași culoare})}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{13}{28}}{\frac{25}{56}}=\frac{13/56}{25/56}=\frac{13}{25}. Deci probabilitatea cerută este 1325\frac{13}{25}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Probabilități

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.
Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.
Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)
Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.
Vezi toate problemele de Probabilități →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.