MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorIntegrale definite
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−1x2+1f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}. Studiați funcția: determinați domeniul, paritatea, intervalele de monotonie, extremele, asimptotele. Calculați aria suprafeței mărginite de graficul funcției, axa Ox și dreptele x=0x = 0 și x=1x = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul și paritatea: numitorul x2+1≠0x^2 + 1 \neq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci Df=RD_f = \mathbb{R}. f(−x)=(−x)2−1(−x)2+1=x2−1x2+1=f(x)f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = f(x), deci funcția este pară.
23 puncte
Derivata și monotonie: f′(x)=2x(x2+1)−(x2−1)2x(x2+1)2=4x(x2+1)2f'(x) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}. Semnul lui f′(x)f'(x): pentru x>0x > 0, f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este strict crescătoare pe (0,∞)(0, \infty); pentru x<0x < 0, f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este strict descrescătoare pe (−∞,0)(-\infty, 0); în x=0x = 0, f′(0)=0f'(0) = 0.
32 puncte
Extreme și asimptote: din semnul derivatei, x=0x = 0 este punct de minim global, cu f(0)=−1f(0) = -1. Asimptote: lim⁡x→±∞f(x)=1\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1, deci y=1y = 1 este asimptotă orizontală spre ±∞\pm \infty. Nu există asimptote verticale sau oblice.
43 puncte
Calculul ariei: aria cerută este ∫01∣f(x)∣ dx\int_0^1 |f(x)| \, dx. Pe [0,1][0,1], f(x)≤0f(x) \leq 0 (deoarece f(0)=−1f(0) = -1 și f(1)=0f(1) = 0), deci ∣f(x)∣=−f(x)|f(x)| = -f(x). Se scrie f(x)=1−2x2+1f(x) = 1 - \frac{2}{x^2+1}. Atunci, ∫01f(x) dx=∫01(1−2x2+1)dx=[x−2arctan⁡x]01=(1−2⋅π4)−(0−0)=1−π2\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 \left(1 - \frac{2}{x^2+1}\right) dx = [x - 2 \arctan x]_0^1 = (1 - 2 \cdot \frac{\pi}{4}) - (0 - 0) = 1 - \frac{\pi}{2}. Aria este ∫01∣f(x)∣ dx=−∫01f(x) dx=π2−1\int_0^1 |f(x)| \, dx = -\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{\pi}{2} - 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.