MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateMonotonie și convexitate
Se consideră funcția f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(x^2 + 1). Să se determine primitiva FF a lui ff care verifică F(0)=1F(0) = 1. Apoi să se studieze monotonieșie lui FF pe intervalul (0,∞)(0, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se găsește primitiva generală a funcției f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(x^2 + 1). Folosind integrarea prin părți, cu u=ln⁡(x2+1)u = \ln(x^2 + 1), dv=dxdv = dx, atunci du=2xx2+1dxdu = \frac{2x}{x^2+1} dx, v=xv = x. Obținem ∫ln⁡(x2+1)dx=xln⁡(x2+1)−∫2x2x2+1dx\int \ln(x^2+1) dx = x \ln(x^2+1) - \int \frac{2x^2}{x^2+1} dx.
23 puncte
Se simplifică integrala: ∫2x2x2+1dx=2∫(1−1x2+1)dx=2(x−arctan⁡x)+C\int \frac{2x^2}{x^2+1} dx = 2 \int \left(1 - \frac{1}{x^2+1}\right) dx = 2(x - \arctan x) + C. Deci primitiva generală este F(x)=xln⁡(x2+1)−2x+2arctan⁡x+CF(x) = x \ln(x^2+1) - 2x + 2 \arctan x + C.
33 puncte
Se determină constanta CC din condiția F(0)=1F(0) = 1. F(0)=0⋅ln⁡(1)−0+2arctan⁡0+C=C=1F(0) = 0 \cdot \ln(1) - 0 + 2 \arctan 0 + C = C = 1, deci C=1C=1. Apoi se studiază monotonieșie: F′(x)=f(x)=ln⁡(x2+1)F'(x) = f(x) = \ln(x^2+1). Pe (0,∞)(0, \infty), x2+1>1x^2+1 > 1, deci ln⁡(x2+1)>0\ln(x^2+1) > 0, așadar F′(x)>0F'(x) > 0, de unde FF este strict crescătoare pe (0,∞)(0, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.