MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeFuncția de gradul al II-leaMonotonie și convexitate
Fie șirul (un)n≥1(u_n)_{n \geq 1} definit prin u1=0u_1 = 0 și un+1=un2+1u_{n+1} = u_n^2 + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați că șirul este strict crescător și că lim⁡n→∞un=+∞\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică că un≥0u_n \geq 0 pentru toți n≥1n \geq 1, cu u1=0u_1 = 0 și dacă un≥0u_n \geq 0, atunci un+1=un2+1≥1>0u_{n+1} = u_n^2 + 1 \geq 1 > 0.
24 puncte
Se arată că un+1>unu_{n+1} > u_n pentru orice n≥1n \geq 1, calculând un+1−un=un2−un+1u_{n+1} - u_n = u_n^2 - u_n + 1 și observând că acest trinom are discriminantul Δ=(−1)2−4⋅1⋅1=−3<0\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0, deci este pozitiv pentru orice unu_n real.
33 puncte
Se demonstrează prin inducție că un≥n−1u_n \geq n-1 pentru n≥2n \geq 2: pentru n=2n=2, u2=1≥1u_2 = 1 \geq 1; dacă un≥n−1u_n \geq n-1, atunci un+1=un2+1≥(n−1)2+1≥nu_{n+1} = u_n^2 + 1 \geq (n-1)^2 + 1 \geq n, deci șirul nu este mărginit superior. Împreună cu monotonia, rezultă lim⁡n→∞un=+∞\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.