MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAplicații ale trigonometriei în geometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Într-un triunghi, lungimile laturilor formează o progresie aritmetică. Știind că perimetrul triunghiului este 30 cm și că unul dintre unghiuri are măsura de 60∘60^\circ, determinați lungimile laturilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm laturile ca a−da-d, aa, a+da+d (progresie aritmetică cu rația dd). Perimetrul: (a−d)+a+(a+d)=3a=30⇒a=10(a-d) + a + (a+d) = 3a = 30 \Rightarrow a=10 cm.
23 puncte
Aplicăm teorema cosinusului pentru unghiul de 60∘60^\circ. Presupunem că unghiul de 60∘60^\circ este opus laturii de lungime a=10a=10. Atunci: 102=(10−d)2+(10+d)2−2(10−d)(10+d)cos⁡60∘10^2 = (10-d)^2 + (10+d)^2 - 2(10-d)(10+d)\cos 60^\circ, cu cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}.
33 puncte
Calculăm: 100=(100−20d+d2)+(100+20d+d2)−2(100−d2)⋅12=200+2d2−(100−d2)=200+2d2−100+d2=100+3d2100 = (100 - 20d + d^2) + (100 + 20d + d^2) - 2(100 - d^2) \cdot \frac{1}{2} = 200 + 2d^2 - (100 - d^2) = 200 + 2d^2 - 100 + d^2 = 100 + 3d^2. Rezultă 100=100+3d2⇒3d2=0⇒d=0100 = 100 + 3d^2 \Rightarrow 3d^2 = 0 \Rightarrow d=0.
42 puncte
Interpretare: d=0d=0 implică că laturile sunt egale, deci triunghiul este echilateral cu laturile de 10 cm fiecare. Unghiurile sunt de 60∘60^\circ, ceea ce verifică condiția.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.