MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorLogaritmiEcuații logaritmice
Fie funcția f:D→Rf: D \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2−4x+3)f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3). a) Determinați domeniul de definiție DD. b) Studiați monotonia funcției pe domeniul său de definiție, calculând derivata f′f'. c) Determinați asimptotele verticale, dacă există. d) Rezolvați ecuația f(x)=ln⁡3f(x) = \ln 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
a) x2−4x+3>0⇒(x−1)(x−3)>0⇒D=(−∞,1)∪(3,∞)x^2 - 4x + 3 > 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) > 0 \Rightarrow D = (-\infty, 1) \cup (3, \infty).
23 puncte
b) Derivata f′(x)=2x−4x2−4x+3f'(x) = \frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 3}. Semnul lui f′f': pe (−∞,1)(-\infty, 1), 2x−4<02x - 4 < 0 și x2−4x+3>0x^2 - 4x + 3 > 0, deci f′<0f' < 0 (descrescătoare); pe (3,∞)(3, \infty), 2x−4>02x - 4 > 0 și x2−4x+3>0x^2 - 4x + 3 > 0, deci f′>0f' > 0 (crescătoare).
32 puncte
c) Asimptote verticale: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1−ln⁡(x2−4x+3)=ln⁡(0+)=−∞\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \ln(x^2 - 4x + 3) = \ln(0^+) = -\infty, deci x=1x = 1 asimptotă verticală; similar lim⁡x→3+f(x)=−∞\lim_{x \to 3^+} f(x) = -\infty, deci x=3x = 3 asimptotă verticală.
43 puncte
d) f(x)=ln⁡3⇒ln⁡(x2−4x+3)=ln⁡3⇒x2−4x+3=3⇒x2−4x=0⇒x(x−4)=0⇒x=0f(x) = \ln 3 \Rightarrow \ln(x^2 - 4x + 3) = \ln 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 3 \Rightarrow x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4) = 0 \Rightarrow x = 0 sau x=4x = 4. Verificare în DD: x=0∈(−∞,1)x=0 \in (-\infty, 1) și x=4∈(3,∞)x=4 \in (3, \infty), deci ambele sunt soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.