MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an+3n+2a_{n+1} = a_n + 3n + 2 pentru orice n≥1n \geq 1. a) Demonstrați că șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} cu bn=an−32n2−12nb_n = a_n - \frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n este constant. b) Calculați suma S=a1+a2+⋯+a10S = a_1 + a_2 + \dots + a_{10}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Se calculează bn+1=an+1−32(n+1)2−12(n+1)b_{n+1} = a_{n+1} - \frac{3}{2}(n+1)^2 - \frac{1}{2}(n+1). Folosind relația de recurență, an+1=an+3n+2a_{n+1} = a_n + 3n + 2, se obține bn+1=an+3n+2−32(n2+2n+1)−12n−12=an−32n2−12n=bnb_{n+1} = a_n + 3n + 2 - \frac{3}{2}(n^2 + 2n + 1) - \frac{1}{2}n - \frac{1}{2} = a_n - \frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n = b_n, deci bnb_n constant.
22 puncte
Se calculează b1=a1−32⋅12−12⋅1=2−32−12=0b_1 = a_1 - \frac{3}{2} \cdot 1^2 - \frac{1}{2} \cdot 1 = 2 - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 0, deci bn=0b_n = 0 pentru orice n≥1n \geq 1.
32 puncte
Din bn=0b_n = 0, rezultă an=32n2+12na_n = \frac{3}{2}n^2 + \frac{1}{2}n.
42 puncte
Suma S=∑k=110ak=32∑k=110k2+12∑k=110k=32⋅10⋅11⋅216+12⋅10⋅112=32⋅385+12⋅55=577.5+27.5=605S = \sum_{k=1}^{10} a_k = \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{10} k^2 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{10} k = \frac{3}{2} \cdot \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2} = \frac{3}{2} \cdot 385 + \frac{1}{2} \cdot 55 = 577.5 + 27.5 = 605.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.