MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorAsimptoteDerivate
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+3x2+1f(x)=\frac{x^2+2x+3}{x^2+1}. a) Determinați asimptotele funcției. b) Studiați monotonia și găsiți punctele de extrem. c) Arătați că funcția are un punct de inflexiune și determinați intervalul pe care este concavă. d) Calculați lim⁡n→∞1n∑k=1nf(kn)\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Asimptote: orizontală y=1y=1 deoarece lim⁡x→±∞f(x)=1\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=1. Nu există asimptote verticale (numitorul nu se anulează).\n
22 puncte
Derivata: f′(x)=(2x+2)(x2+1)−(x2+2x+3)(2x)(x2+1)2=−2x2−4x+2(x2+1)2f'(x)=\frac{(2x+2)(x^2+1)-(x^2+2x+3)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2-4x+2}{(x^2+1)^2}. Puncte critice: −2x2−4x+2=0⇒x2+2x−1=0⇒x=−1±2-2x^2-4x+2=0 \Rightarrow x^2+2x-1=0 \Rightarrow x=-1\pm\sqrt{2}. Semnul lui f′(x)f'(x): pozitiv între rădăcini, negativ în afară. Monotonia: crescătoare pe [−1−2,−1+2][-1-\sqrt{2}, -1+\sqrt{2}], descrescătoare în rest. Puncte extrem: x=−1−2x=-1-\sqrt{2} minim, x=−1+2x=-1+\sqrt{2} maxim.\n
33 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=4x3+12x2−12x−4(x2+1)3f''(x)=\frac{4x^3+12x^2-12x-4}{(x^2+1)^3}. Puncte de inflexiune: f′′(x)=0⇒x3+3x2−3x−1=0f''(x)=0 \Rightarrow x^3+3x^2-3x-1=0. Observăm x=1x=1 este soluție: (x−1)(x2+4x+1)=0(x-1)(x^2+4x+1)=0, deci x=1x=1 sau x=−2±3x=-2\pm\sqrt{3}. Analizând semnul, punctul x=1x=1 este de inflexiune. Concavitatea: f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x<1x<1 (concavă) pe anumite intervale, dar specific: concavă pe (−∞,−2−3)(-\infty, -2-\sqrt{3}) și (−2+3,1)(-2+\sqrt{3}, 1), convexă în rest.\n
43 puncte
Limita: lim⁡n→∞1n∑k=1nf(kn)=∫01f(x) dx\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) \, dx. Calculăm ∫01x2+2x+3x2+1 dx=∫01(1+2x+2x2+1) dx=∫011 dx+∫012xx2+1 dx+∫012x2+1 dx=[x]01+[ln⁡(x2+1)]01+[2arctan⁡x]01=1+ln⁡2+π2\int_{0}^{1} \frac{x^2+2x+3}{x^2+1} \, dx = \int_{0}^{1} \left(1 + \frac{2x+2}{x^2+1}\right) \, dx = \int_{0}^{1} 1 \, dx + \int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2+1} \, dx + \int_{0}^{1} \frac{2}{x^2+1} \, dx = [x]_0^1 + [\ln(x^2+1)]_0^1 + [2\arctan x]_0^1 = 1 + \ln 2 + \frac{\pi}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.