MediuProcenteClasa 10

Problemă rezolvată de Procente

MediuProcenteLogaritmiMatematică financiară
Valoarea unui echipament industrial scade anual cu un procent constant q%q\%. După 4 ani, valoarea sa este jumătate din cea inițială, iar după 8 ani este de 25.00025.000 euro. Determinați procentul anual de depreciere și valoarea inițială, exprimând rezultatele cu ajutorul logaritmilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notați cu V0V_0 valoarea inițială și scrieți formula pentru valoarea după nn ani: Vn=V0(1−q100)nV_n = V_0 \left(1 - \frac{q}{100}\right)^n.
23 puncte
Din condiția după 4 ani, (1−q100)4=12\left(1 - \frac{q}{100}\right)^4 = \frac{1}{2}. Aplicați logaritmul în baza 10 sau natural: 4log⁡(1−q100)=log⁡(12)4 \log\left(1 - \frac{q}{100}\right) = \log\left(\frac{1}{2}\right), deci log⁡(1−q100)=log⁡0,54\log\left(1 - \frac{q}{100}\right) = \frac{\log 0,5}{4}. Apoi, 1−q100=10log⁡0,541 - \frac{q}{100} = 10^{\frac{\log 0,5}{4}} sau eln⁡0,54e^{\frac{\ln 0,5}{4}}, de unde q=100(1−0,54)q = 100 \left(1 - \sqrt[4]{0,5}\right).
32 puncte
Din condiția după 8 ani, V0(1−q100)8=25.000V_0 \left(1 - \frac{q}{100}\right)^8 = 25.000. Dar (1−q100)4=12\left(1 - \frac{q}{100}\right)^4 = \frac{1}{2}, deci (1−q100)8=(12)2=14\left(1 - \frac{q}{100}\right)^8 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}. Astfel, V0⋅14=25.000V_0 \cdot \frac{1}{4} = 25.000, deci V0=100.000V_0 = 100.000 euro.
42 puncte
Prezentați procentul de depreciere: q=100(1−0,54)≈16,609%q = 100 \left(1 - \sqrt[4]{0,5}\right) \approx 16,609\% (valoare aproximativă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Procente

Ușor#1ProcenteMatematică aplicatăEcuații exponentiale
O bancă oferă un depozit cu dobândă compusă anuală de 5%. Un client depune 1000 u.m. pe o perioadă de nn ani. Dacă după nn ani suma acumulată este de 1276.28 u.m., determinați numărul de ani nn și calculați suma după încă 3 ani, presupunând că dobânda rămâne aceeași.
Ușor#2ProcenteMatematică aplicatăȘiruri de numere reale
O investiție inițială de 5000 de lei este plasată la o rată anuală de dobândă de 6%, compusă anual. Determinați suma acumulată după 5 ani și timpul necesar pentru ca investiția să se dubleze. Presupuneți că nu se fac alte depuneri sau retrageri.
Ușor#3ProcenteMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu o rată anuală de 5%5\%. Determinați suma disponibilă după 10 ani, dacă dobânda se capitalizează anual. În plus, dacă după 5 ani se retrag 20002000 de lei, calculați ce sumă va avea la finalul celor 10 ani.
Ușor#4ProcenteMatematică financiarăLogaritmi
Un investitor depune o sumă de 10.000 lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă cu o rată anuală de 5%. a) După câți ani suma inițială se va dubla? b) Ce sumă va avea investitorul după 10 ani?
Vezi toate problemele de Procente →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Procente cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.