MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăIdentități algebrice
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an+2n+1a_{n+1} = a_n + 2n + 1 pentru orice n≥1n \ge 1. a) Demonstrați că an=n2+1a_n = n^2 + 1 pentru orice n≥1n \ge 1. b) Calculați suma Sn=∑k=1nakS_n = \sum_{k=1}^{n} a_k.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică că an=n2+1a_n = n^2 + 1. Pentru n=1n=1, a1=2=12+1a_1=2=1^2+1, adevărat. Presupunem că ak=k2+1a_k = k^2 + 1 pentru un k≥1k \ge 1. Atunci ak+1=ak+2k+1=(k2+1)+2k+1=k2+2k+2=(k+1)2+1a_{k+1} = a_k + 2k + 1 = (k^2 + 1) + 2k + 1 = k^2 + 2k + 2 = (k+1)^2 + 1. Prin inducție, formula este adevărată pentru toți n≥1n \ge 1.
23 puncte
Se exprimă suma folosind formula demonstrată: Sn=∑k=1nak=∑k=1n(k2+1)=∑k=1nk2+∑k=1n1S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 1) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 1.
32 puncte
Se calculează sumele cunoscute: ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} și ∑k=1n1=n\sum_{k=1}^{n} 1 = n.
41 punct
Se obține rezultatul final: Sn=n(n+1)(2n+1)6+n=n(n+1)(2n+1)+6n6=n(2n2+3n+1+6)6=n(2n2+3n+7)6S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n = \frac{n(n+1)(2n+1) + 6n}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1 + 6)}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 7)}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.