MediuGeometrie AnaliticăClasa 11

Problemă rezolvată de Geometrie Analitică

MediuGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații LiniareFuncția de gradul al II-lea
Fie cercul C:x2+y2=9C: x^2 + y^2 = 9 și dreapta dm:y=mx+4d_m: y = mx + 4. Determinați valorile parametrului mm pentru care dmd_m este tangentă la cercul CC. Apoi, pentru fiecare valoare a lui mm, calculați coordonatele punctului de tangență.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția de tangență a unei drepte la un cerc cu centrul în origine este că distanța de la centru la dreaptă este egală cu raza. Pentru dreapta dm:y=mx+4d_m: y = mx + 4, ecuația generală este mx−y+4=0mx - y + 4 = 0. Distanța de la (0,0)(0,0) la această dreaptă este ∣4∣m2+1=4m2+1\frac{|4|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}}. Punem condiția 4m2+1=3\frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3.
24 puncte
Rezolvăm ecuația: 4m2+1=3⇒4=3m2+1⇒m2+1=43⇒m2+1=169⇒m2=169−1=79⇒m=±73\frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3 \Rightarrow 4 = 3\sqrt{m^2 + 1} \Rightarrow \sqrt{m^2 + 1} = \frac{4}{3} \Rightarrow m^2 + 1 = \frac{16}{9} \Rightarrow m^2 = \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9} \Rightarrow m = \pm \frac{\sqrt{7}}{3}.
33 puncte
Pentru fiecare mm, punctul de tangență se obține rezolvând sistemul dintre ecuația dreptei și ecuația cercului. Pentru m=73m = \frac{\sqrt{7}}{3}, sistemul este {y=73x+4x2+y2=9\begin{cases} y = \frac{\sqrt{7}}{3}x + 4 \\ x^2 + y^2 = 9 \end{cases}. Înlocuind yy în a doua ecuație: x2+(73x+4)2=9⇒x2+79x2+873x+16=9⇒169x2+873x+7=0x^2 + \left(\frac{\sqrt{7}}{3}x + 4\right)^2 = 9 \Rightarrow x^2 + \frac{7}{9}x^2 + \frac{8\sqrt{7}}{3}x + 16 = 9 \Rightarrow \frac{16}{9}x^2 + \frac{8\sqrt{7}}{3}x + 7 = 0. Această ecuație are discriminantul zero datorită tangenței, deci x=−8732⋅169=−873⋅932=−374x = -\frac{\frac{8\sqrt{7}}{3}}{2 \cdot \frac{16}{9}} = -\frac{8\sqrt{7}}{3} \cdot \frac{9}{32} = -\frac{3\sqrt{7}}{4}, iar y=73⋅(−374)+4=−74+4=94y = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot \left(-\frac{3\sqrt{7}}{4}\right) + 4 = -\frac{7}{4} + 4 = \frac{9}{4}. Similar, pentru m=−73m = -\frac{\sqrt{7}}{3}, punctul de tangență este (374,94)\left(\frac{3\sqrt{7}}{4}, \frac{9}{4}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Geometrie Analitică

Ușor#1Geometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
O antenă parabolică are forma unui paraboloid de rotație. Secțiunea axială a antenei este o parabolă cu ecuația y=ax2y = ax^2. Diametrul antenei este de 4 m, iar adâncimea (distanța de la vârf la planul bazei) este de 1 m. Determinați valoarea coeficientului aa și poziția focală a antenei (distanța de la vârf la focar).
Mediu#2Geometrie AnaliticăSisteme de Ecuații LiniareStudiul funcțiilor
O companie produce două tipuri de articole, A și B. Profitul unitar este de 120120 lei pentru A și 8080 lei pentru B. Producția este limitată de resurse: pentru fiecare articol A se consumă 22 ore de muncă și 33 kg de materie primă, iar pentru B se consumă 11 oră de muncă și 22 kg de materie primă. Disponibilul zilnic este de 100100 ore de muncă și 120120 kg de materie primă. Determinați câte articole din fiecare tip trebuie produse zilnic pentru a maximiza profitul total, folosind metode geometrice sau algebrice.
Mediu#3Geometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un teren în formă de triunghi are vârfurile în punctele A(0,0)A(0,0), B(4,0)B(4,0) și C(2,3)C(2,3) (coordonate în metri). Se dorește construirea unui drum drept de la punctul D(1,1)D(1,1) la latura BCBC, astfel încât drumul să fie perpendicular pe BCBC. Determinați lungimea drumului și coordonatele punctului de intersecție cu BCBC.
Ușor#4Geometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații iraționale
După întâlnire, un vas a mers spre sud și celălalt spre vest. La două ore după întâlnire, cele două vase erau la 60 km distanță unul de celălalt. Determinați viteza fiecărui vas, știind că viteza unuia este cu 6 km/h mai mare decât a celuilalt.
Vezi toate problemele de Geometrie Analitică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Geometrie Analitică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.