MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorAsimptoteMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=exx2+1f(x) = \frac{e^x}{x^2 + 1}. a) Determinați domeniul de definiție, asimptotele și intervalele de monotonie ale funcției. b) Studiați convexitatea/concavitatea funcției pe R\mathbb{R}. c) Arătați că ecuația f(x)=mf(x) = m are trei soluții reale distincte pentru m∈(0,e2)m \in \left(0, \frac{e}{2}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul: x2+1≠0x^2 + 1 \neq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci Df=RD_f = \mathbb{R}. Asimptote: La x→±∞x \to \pm\infty, lim⁡x→±∞f(x)=0\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0, deci y=0y = 0 este asimptotă orizontală. Nu există asimptote verticale sau oblice.
23 puncte
Monotonia: f′(x)=ex(x2+1)−ex⋅2x(x2+1)2=ex(x2−2x+1)(x2+1)2=ex(x−1)2(x2+1)2f'(x) = \frac{e^x(x^2 + 1) - e^x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x(x^2 - 2x + 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x(x - 1)^2}{(x^2 + 1)^2}. f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, cu f′(x)=0f'(x) = 0 doar la x=1x = 1. Funcția este crescătoare pe (−∞,1](-\infty, 1] și pe [1,+∞)[1, +\infty), dar nu strict crescătoare pe întreg R\mathbb{R} deoarece derivata se anulează într-un punct interior.
32 puncte
Convexitate: f′′(x)=ex[(x−1)2(x2+1)2+2(x−1)(x2+1)2−2(x−1)2(x2+1)⋅2x](x2+1)4f''(x) = \frac{e^x[(x-1)^2(x^2+1)^2 + 2(x-1)(x^2+1)^2 - 2(x-1)^2(x^2+1) \cdot 2x]}{(x^2+1)^4}. Simplificând semnificativ, se obține f′′(x)=ex(x4−4x3+6x2−4x−1)(x2+1)3f''(x) = \frac{e^x(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x - 1)}{(x^2+1)^3}. Studiind semnul numărătorului g(x)=x4−4x3+6x2−4x−1g(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x - 1, se găsesc rădăcinile reale aproximative sau se demonstrează că există două rădăcini reale distincte, deci ff are puncte de inflexiune. Funcția este convexă pe intervalele unde f′′(x)>0f''(x) > 0 și concavă unde f′′(x)<0f''(x) < 0.
43 puncte
Ecuația f(x)=mf(x) = m: Din monotonie, ff este crescătoare, dar cu derivată nulă în x=1x=1. f(1)=e2f(1) = \frac{e}{2}. La limită, lim⁡x→−∞f(x)=0\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0. Funcția are un maxim în x=1x=1 cu valoarea e2\frac{e}{2}. Pentru m∈(0,e2)m \in \left(0, \frac{e}{2}\right), ecuația are două soluții: una în (−∞,1)(-\infty, 1) și una în (1,+∞)(1, +\infty). Dar pentru a avea trei soluții distincte, trebuie ca ff să nu fie injectivă, ceea ce nu este adevărat din studiul monotoniei. Prin urmare, se analizează mai atent: ff fiind continuă și cu f′(x)≥0f'(x) \geq 0, ea este crescătoare, deci injectivă, deci ecuația f(x)=mf(x) = m are cel mult o soluție. Contradicție cu enunțul care cere să se arate că are trei soluții. Corectitudine: Ecuația f(x)=mf(x) = m are exact o soluție pentru m∈(0,e/2)m \in (0, e/2). Pentru a avea trei, funcția ar trebui să nu fie monotonă, dar f′(x)≥0f'(x) \geq 0 arată că este crescătoare. Se revine la studiul lui f′f': f′(x)=ex(x−1)2(x2+1)2≥0f'(x) = \frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2} \geq 0, deci funcția este crescătoare pe R\mathbb{R}, dar nu strict crescătoare deoarece f′(x)=0f'(x)=0 în x=1x=1. În acest caz, funcția este constantă pe niciun interval, deci este injectivă. Astfel, ecuația are cel mult o soluție. Deci punctul c este fals în forma dată. Se ajustează: Se arată că ecuația are o singură soluție pentru m∈(0,e/2)m \in (0, e/2). În barem, se punctează demonstrația injectivității și aplicarea teoremei valorii intermediare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.