MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Într-o progresie aritmetică, termenii a3,a7,a11a_3, a_7, a_{11} sunt în progresie geometrică. Dacă suma acestor trei termeni este 21, aflați progresia aritmetică.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se exprimă termenii în funcție de primul termen a1a_1 și rația rr: a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a7=a1+6ra_7 = a_1 + 6r, a11=a1+10ra_{11} = a_1 + 10r.
23 puncte
Condiția de progresie geometrică: (a7)2=a3⋅a11(a_7)^2 = a_3 \cdot a_{11}, adică (a1+6r)2=(a1+2r)(a1+10r)(a_1 + 6r)^2 = (a_1 + 2r)(a_1 + 10r). Se simplifică la a12+12a1r+36r2=a12+12a1r+20r2⇒16r2=0⇒r=0a_1^2 + 12a_1 r + 36r^2 = a_1^2 + 12a_1 r + 20r^2 \Rightarrow 16r^2 = 0 \Rightarrow r = 0.
33 puncte
Din suma termenilor: a3+a7+a11=21a_3 + a_7 + a_{11} = 21, cu r=0r=0, se obține 3a1=21⇒a1=73a_1 = 21 \Rightarrow a_1 = 7. Deci progresia aritmetică are a1=7a_1 = 7 și r=0r = 0, adică este constantă: an=7a_n = 7 pentru orice nn.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.