MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volumeTrigonometrie
Se consideră funcția f:[0,π]→Rf: [0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x. Să se calculeze aria suprafeței delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=πx=\pi.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se găsește o primitivă a funcției f(x)f(x): F(x)=−cos⁡x+sin⁡x+CF(x) = -\cos x + \sin x + C.
23 puncte
Se determină punctul unde f(x)f(x) își schimbă semnul: rezolvăm sin⁡x+cos⁡x=0\sin x + \cos x = 0, adică tan⁡x=−1\tan x = -1, deci x=3π4x = \frac{3\pi}{4} pe [0,π][0, \pi]. Pe [0,3π4][0, \frac{3\pi}{4}], f(x)≥0f(x) \geq 0, iar pe [3π4,π][\frac{3\pi}{4}, \pi], f(x)≤0f(x) \leq 0. Aria este ∫03π/4f(x)dx+∫3π/4π(−f(x))dx\int_0^{3\pi/4} f(x) dx + \int_{3\pi/4}^{\pi} (-f(x)) dx.
33 puncte
Se calculează ∫03π/4f(x)dx=F(3π4)−F(0)=(−cos⁡(3π4)+sin⁡(3π4))−(−cos⁡0+sin⁡0)=(22+22)−(−1)=2+1\int_0^{3\pi/4} f(x) dx = F(\frac{3\pi}{4}) - F(0) = (-\cos(\frac{3\pi}{4}) + \sin(\frac{3\pi}{4})) - (-\cos 0 + \sin 0) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-1) = \sqrt{2} + 1. Apoi ∫3π/4π(−f(x))dx=−(F(π)−F(3π4))=−(1−2)=2−1\int_{3\pi/4}^{\pi} (-f(x)) dx = - (F(\pi) - F(\frac{3\pi}{4})) = - (1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1. Aria totală este (2+1)+(2−1)=22(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.