MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorPrimitiveArii și volume
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. a) Determinați o primitivă FF a funcției ff astfel încât F(1)=0F(1) = 0. b) Calculați aria suprafeței mărginite de graficul funcției ff, axa Ox și dreptele x=1x=1 și x=ex=e. c) Studiați convexitatea funcției ff pe domeniul său de definiție.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Găsirea primitivei generale a funcției f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x prin integrare prin părți, obținând F(x)=x22ln⁡x−x24+CF(x) = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C, și determinarea constantei CC folosind condiția F(1)=0F(1) = 0.
24 puncte
Calculul integralei definite ∫1ef(x) dx\int_{1}^{e} f(x) \, dx folosind primitiva găsită sau direct prin integrare, și interpretarea geometrică pentru aria cerută, asigurându-se că funcția este pozitivă pe interval.
33 puncte
Calculul derivatei a doua f′′(x)f''(x) pornind de la f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1, obținând f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}, și studierea semnului acesteia pe (0,∞)(0, \infty) pentru a determina intervalele de convexitate ( f′′(x)>0f''(x) > 0 ) și concavitate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.