MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorIntegrale definiteArii și volume
Fie funcțiile f,g:[0,2]→Rf, g: [0, 2] \to \mathbb{R} definite prin f(x)=x2f(x) = x^2 și g(x)=2x−x2g(x) = 2x - x^2. a) Calculați aria regiunii plane mărginite de graficele funcțiilor ff și gg pe intervalul [0,2][0,2]. b) Determinați volumul corpului de rotație obținut prin rotirea acestei regiuni în jurul axei Ox.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Aria A=∫02∣f(x)−g(x)∣dxA = \int_0^2 |f(x) - g(x)| dx. Calculăm g(x)−f(x)=(2x−x2)−x2=2x−2x2=2x(1−x)g(x) - f(x) = (2x - x^2) - x^2 = 2x - 2x^2 = 2x(1-x). Pe [0,1][0,1], g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x), iar pe [1,2][1,2], f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x). Deci A=∫01(g(x)−f(x))dx+∫12(f(x)−g(x))dx=∫01(2x−2x2)dx+∫12(2x2−2x)dxA = \int_0^1 (g(x) - f(x)) dx + \int_1^2 (f(x) - g(x)) dx = \int_0^1 (2x - 2x^2) dx + \int_1^2 (2x^2 - 2x) dx. ∫01(2x−2x2)dx=[x2−23x3]01=1−23=13\int_0^1 (2x - 2x^2) dx = [x^2 - \frac{2}{3}x^3]_0^1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}. ∫12(2x2−2x)dx=[23x3−x2]12=(163−4)−(23−1)=163−4−23+1=143−3=143−93=53\int_1^2 (2x^2 - 2x) dx = [\frac{2}{3}x^3 - x^2]_1^2 = (\frac{16}{3} - 4) - (\frac{2}{3} - 1) = \frac{16}{3} - 4 - \frac{2}{3} + 1 = \frac{14}{3} - 3 = \frac{14}{3} - \frac{9}{3} = \frac{5}{3}. A=13+53=2A = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = 2.
26 puncte
Volumul V=π∫02∣f(x)2−g(x)2∣dxV = \pi \int_0^2 |f(x)^2 - g(x)^2| dx. f(x)2=x4f(x)^2 = x^4, g(x)2=(2x−x2)2=4x2−4x3+x4g(x)^2 = (2x - x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4. f(x)2−g(x)2=x4−(4x2−4x3+x4)=4x3−4x2=4x2(x−1)f(x)^2 - g(x)^2 = x^4 - (4x^2 - 4x^3 + x^4) = 4x^3 - 4x^2 = 4x^2(x-1). Pe [0,1][0,1], x−1≤0x-1 \leq 0, deci f(x)2≤g(x)2f(x)^2 \leq g(x)^2; pe [1,2][1,2], x−1≥0x-1 \geq 0, deci f(x)2≥g(x)2f(x)^2 \geq g(x)^2. V=π(∫01(g(x)2−f(x)2)dx+∫12(f(x)2−g(x)2)dx)=π(∫01(4x2−4x3)dx+∫12(4x3−4x2)dx)V = \pi \left( \int_0^1 (g(x)^2 - f(x)^2) dx + \int_1^2 (f(x)^2 - g(x)^2) dx \right) = \pi \left( \int_0^1 (4x^2 - 4x^3) dx + \int_1^2 (4x^3 - 4x^2) dx \right). ∫01(4x2−4x3)dx=[43x3−x4]01=43−1=13\int_0^1 (4x^2 - 4x^3) dx = [\frac{4}{3}x^3 - x^4]_0^1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}. ∫12(4x3−4x2)dx=[x4−43x3]12=(16−323)−(1−43)=483−323−33+43=163+13=173\int_1^2 (4x^3 - 4x^2) dx = [x^4 - \frac{4}{3}x^3]_1^2 = (16 - \frac{32}{3}) - (1 - \frac{4}{3}) = \frac{48}{3} - \frac{32}{3} - \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{16}{3} + \frac{1}{3} = \frac{17}{3}. V=π(13+173)=π⋅183=6πV = \pi \left( \frac{1}{3} + \frac{17}{3} \right) = \pi \cdot \frac{18}{3} = 6\pi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.