MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAplicații ale trigonometriei în geometrieSisteme de Ecuații Neliniare
Într-un triunghi dreptunghic, lungimile laturilor formează o progresie aritmetică. Dacă perimetrul triunghiului este 30 cm, aflați lungimile laturilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Notăm laturile triunghiului cu aa, bb, cc, unde a<b<ca < b < c și cc este ipotenuza. Avem a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 (teorema lui Pitagora) și a+b+c=30a + b + c = 30 (perimetrul). De asemenea, laturile sunt în progresie aritmetică, deci 2b=a+c2b = a + c.
22 puncte
Din 2b=a+c2b = a + c, exprimăm c=2b−ac = 2b - a.
32 puncte
Înlocuim cc în ecuația perimetrului: a+b+(2b−a)=30a + b + (2b - a) = 30 ⇒\Rightarrow 3b=303b = 30 ⇒\Rightarrow b=10b = 10.
42 puncte
Acum, din c=2b−a=20−ac = 2b - a = 20 - a, și din teorema lui Pitagora: a2+102=(20−a)2a^2 + 10^2 = (20 - a)^2 ⇒\Rightarrow a2+100=400−40a+a2a^2 + 100 = 400 - 40a + a^2 ⇒\Rightarrow 100=400−40a100 = 400 - 40a ⇒\Rightarrow 40a=30040a = 300 ⇒\Rightarrow a=7.5a = 7.5. Atunci c=20−7.5=12.5c = 20 - 7.5 = 12.5.
51 punct
Verificăm: a=7.5a=7.5, b=10b=10, c=12.5c=12.5, sunt în progresie aritmetică? 2b=202b = 20, a+c=20a+c=20, da. Perimetrul: 7.5+10+12.5=307.5+10+12.5=30, da. Teorema lui Pitagora: 7.52+102=56.25+100=156.257.5^2 + 10^2 = 56.25 + 100 = 156.25, 12.52=156.2512.5^2 = 156.25, da. Concluzie: Laturile sunt 7.5 cm, 10 cm, și 12.5 cm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.