MediuProbabilitățiClasa 10

Problemă rezolvată de Probabilități

MediuProbabilitățiAlgebră și Calcule cu Numere RealeCombinatorică
Se consideră mulțimea numerelor naturale de la 1 la nn, unde nn este un număr natural nenul. Se alege la întâmplare un număr din această mulțime. Fie AA evenimentul că numărul ales este par, și BB evenimentul că numărul ales este divizibil cu 3. a) Exprimați probabilitățile P(A)P(A), P(B)P(B) și P(A∩B)P(A \cap B) în funcție de nn. b) Determinați toate valorile lui nn pentru care evenimentele AA și BB sunt independente. c) Pentru n=30n=30, calculați probabilitatea ca numărul ales să fie par sau divizibil cu 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul probabilităților P(A)P(A) și P(B)P(B). Numerele pare de la 1 la nn sunt ⌊n2⌋\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor, deci P(A)=⌊n2⌋nP(A) = \frac{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}{n}. Numerele divizibile cu 3 sunt ⌊n3⌋\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor, deci P(B)=⌊n3⌋nP(B) = \frac{\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor}{n}. Pentru simplitate, se poate considera cazurile nn par/impar și multiplu de 3, dar în general se folosesc părțile întregi.\n
23 puncte
Calculul probabilității P(A∩B)P(A \cap B). Numerele pare și divizibile cu 3 sunt cele divizibile cu 6, adică ⌊n6⌋\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor, deci P(A∩B)=⌊n6⌋nP(A \cap B) = \frac{\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor}{n}.\n
32 puncte
Condiția de independență P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B). Înlocuind, obținem ⌊n6⌋n=⌊n2⌋n⋅⌊n3⌋n\frac{\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor}{n} = \frac{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}{n} \cdot \frac{\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor}{n}, care se simplifică la n⋅⌊n6⌋=⌊n2⌋⋅⌊n3⌋n \cdot \left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \cdot \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor. Se analizează cazurile pentru nn modulo 6 pentru a determina valorile lui nn care satisfac ecuația, de exemplu n=6k,6k+1,…n=6k, 6k+1, \dots. Soluțiile sunt nn multiplu de 6 sau anumite valori specifice; se deduce că independența are loc pentru nn suficient de mare doar când nn este multiplu de 6, dar se pot enumera cazurile mici.\n
42 puncte
Pentru n=30n=30, se calculează P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). Avem P(A)=1530=12P(A) = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}, P(B)=1030=13P(B) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}, P(A∩B)=530=16P(A \cap B) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}, deci P(A∪B)=12+13−16=23P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Probabilități

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.
Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.
Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)
Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.
Vezi toate problemele de Probabilități →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.