MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateArii și volume
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} astfel încât f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x și f(0)=2f(0)=2. Determinați f(x)f(x) și calculați aria regiunii plane delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Integrând, f(x)=∫(3x2−6x)dx=x3−3x2+Cf(x) = \int (3x^2 - 6x) dx = x^3 - 3x^2 + C. Din f(0)=2f(0)=2, avem C=2C=2, deci f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2.
23 puncte
Determinăm intersecția cu axa OxOx: f(x)=0⇒x3−3x2+2=0f(x)=0 \Rightarrow x^3 - 3x^2 + 2 =0. Observăm că x=1x=1 este rădăcină: 1−3+2=01-3+2=0. Factorizăm: (x−1)(x2−2x−2)=0(x-1)(x^2 -2x -2)=0, deci pe intervalul [0,2][0,2], singura rădăcină este x=1x=1. Semnul lui ff: pe [0,1][0,1], f(x)≥0f(x) \geq 0 (deoarece f(0)=2>0f(0)=2>0 și f(1)=0f(1)=0), pe [1,2][1,2], f(x)≤0f(x) \leq 0 (deoarece f(1)=0f(1)=0 și f(2)=−2<0f(2)= -2<0).
33 puncte
Aria este A=∫01f(x)dx+∫12(−f(x))dx=∫01(x3−3x2+2)dx−∫12(x3−3x2+2)dxA = \int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{2} (-f(x)) dx = \int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2) dx - \int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2) dx. Calculăm: ∫(x3−3x2+2)dx=x44−x3+2x+C\int (x^3 - 3x^2 + 2) dx = \frac{x^4}{4} - x^3 + 2x + C. Atunci A=[x44−x3+2x]01−[x44−x3+2x]12=(14−1+2)−(164−8+4)+(14−1+2)=(14+1)−(4−8+4)+(14+1)=54−0+54=104=52A = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + 2x \right]_{0}^{1} - \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + 2x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{1}{4} -1 +2 \right) - \left( \frac{16}{4} -8 +4 \right) + \left( \frac{1}{4} -1 +2 \right) = \left( \frac{1}{4} +1 \right) - (4 -8 +4) + \left( \frac{1}{4} +1 \right) = \frac{5}{4} - 0 + \frac{5}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.