MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=3x_1 = 3 și xn+1=2xn+1xn+2x_{n+1} = \frac{2x_n + 1}{x_n + 2} pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați că șirul este convergent și găsiți limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Arătăm că șirul este mărginit. Prin inducție, se observă că dacă xn>1x_n > 1, atunci xn+1>1x_{n+1} > 1, iar dacă xn≤3x_n \leq 3, atunci xn+1≤3x_{n+1} \leq 3. Cum x1=3x_1 = 3, deducem 1<xn≤31 < x_n \leq 3 pentru orice n≥1n \geq 1.
23 puncte
Studiem monotonia. Calculăm xn+1−xn=2xn+1xn+2−xn=−xn2+1xn+2x_{n+1} - x_n = \frac{2x_n + 1}{x_n + 2} - x_n = \frac{-x_n^2 + 1}{x_n + 2}. Deoarece xn>1x_n > 1, avem −xn2+1<0-x_n^2 + 1 < 0, deci xn+1−xn<0x_{n+1} - x_n < 0, adică șirul este strict descrescător.
33 puncte
Șirul este mărginit și monoton, deci convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din relația de recurență, trecând la limită, obținem L=2L+1L+2L = \frac{2L + 1}{L + 2}. Rezolvând: L(L+2)=2L+1⇒L2+2L=2L+1⇒L2=1⇒L=1L(L+2) = 2L+1 \Rightarrow L^2 + 2L = 2L+1 \Rightarrow L^2 = 1 \Rightarrow L = 1 (deoarece xn>1x_n > 1, limita este pozitivă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.