MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeStudiul funcțiilor
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit recursiv prin a1=2a_1 = \sqrt{2} și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru n≥1n \geq 1. Demonstrați că șirul este convergent și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Arătați că șirul este mărginit inferior de 00 și superior de 22 prin inducție sau observații directe.
23 puncte
Demonstrați că șirul este crescător folosind proprietățile funcției f(x)=2+xf(x) = \sqrt{2 + x}.
31 punct
Aplicați teorema convergenței monotone pentru a deduce convergența șirului.
43 puncte
Notați L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n și rezolvați ecuația L=2+LL = \sqrt{2 + L}, obținând L=2L = 2 (soluția negativă se exclude).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.