MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Neliniare
Fie (an)(a_n) o progresie aritmetică cu rația rr. Știind că a1+a3+a5=15a_1 + a_3 + a_5 = 15 și a2⋅a4=24a_2 \cdot a_4 = 24, determinați primii cinci termeni ai progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem termenii progresiei: an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r.
22 puncte
Exprimăm condițiile: a1+a3+a5=a1+(a1+2r)+(a1+4r)=3a1+6r=15⇒a1+2r=5a_1 + a_3 + a_5 = a_1 + (a_1 + 2r) + (a_1 + 4r) = 3a_1 + 6r = 15 \Rightarrow a_1 + 2r = 5, și a2⋅a4=(a1+r)(a1+3r)=24a_2 \cdot a_4 = (a_1 + r)(a_1 + 3r) = 24.
33 puncte
Din a1=5−2ra_1 = 5 - 2r, înlocuim: (5−2r+r)(5−2r+3r)=(5−r)(5+r)=25−r2=24⇒r2=1⇒r=±1(5 - 2r + r)(5 - 2r + 3r) = (5 - r)(5 + r) = 25 - r^2 = 24 \Rightarrow r^2 = 1 \Rightarrow r = \pm 1.
42 puncte
Pentru r=1r=1, a1=3a_1 = 3, deci progresia: 3, 4, 5, 6, 7. Pentru r=−1r=-1, a1=7a_1 = 7, deci progresia: 7, 6, 5, 4, 3.
51 punct
Scriem răspunsul final: Cele două progresii posibile sunt (3,4,5,6,7)(3,4,5,6,7) și (7,6,5,4,3)(7,6,5,4,3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.